[論文レビュー] A multiplicity result for nonlocal problems involving nonlinearities with bounded primitive

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非局所楕円型問題に対して、原始関数が有界である非線形項を扱い、非アフィンなパラメータ依存性を持つ場合に、臨界点定理（[2]の定理A）を新規に応用することで、多重解の存在を確立する。非線形項と非局所係数に適切な条件を課した下で、大きなパラメータ値に対して、$ H^1_0(\theta) $ 内にノルムが小さい弱解が少なくとも3つ存在することを示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide the first application of Theorem 3 of [2] in a case where the dependence of the underlying equation from the real parameter is not of affine type.

研究の動機と目的

• 非アフィンなパラメータ依存設定における[2]の定理Aの応用が不足しているという点を解決すること。
• 原始関数が有界である非線形項を含む非局所問題における多重解の存在を確立すること。
• 抽象的臨界点定理の適用範囲を非アフィンなパラメータ依存性を有する非局所PDEに拡張すること。
• 強制性とコンパクト性の条件の下で、複数の弱解の存在を示す一般枠組みを提供すること。
• 有理関数型非線形項を含む明示的な例を通じて、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 非アフィンなパラメータ依存性を持つ関数型枠組みに[2]の定理Aを適用し、パラメータが非線形項に非線形的に現れる場合を扱う。
• 臨界点が弱解に対応する関数 $ \tilde{\Psi}(u,\lambda) = \frac{1}{2}K(\|u\|^2) - \int_\Omega G(x,u)dx - \mu H\left(\int_\Omega F(x,u)dx - \lambda\right) $ を定義する。
• 関数 $ k $, $ h $, $ f $, $ g $ に以下の条件を課す：$ k $ は $ t>0 $ に対して連続的かつ正、$ h $ は連続的かつ非減少で、$ h^{-1}(0) = \{0\} $ を満たし、$ \sup |F|, \sup |G| < \infty $ である。
• 微分の逆関数が連続的であることを用いて、$ \psi(u) = \frac{1}{2}K(\|u\|^2) $ がパラメータに依存するペナルティ項の下でパライス＝スメール条件を満たすことを保証する。
• パラメータ $ \mu $ と $ \lambda $ の関係を考慮し、厳密な不等式条件を満たすように、定理Bの変種を適用することで、3つの解の存在を保証する。
• 解の多重性が成立する閾値 $ \theta^* $ が存在することを示し、$ \mu > \theta^* $ のとき、多重性が成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アフィンなパラメータ依存問題における[2]の定理Aは非局所PDEに適用可能か？
• RQ2 原始関数が有界である非局所楕円型問題が、少なくとも3つの弱解を持つための条件は何か？
• RQ3 パラメータ依存性の非線形性が多重解の結果に果たす役割は何か？
• RQ4 $ H^1_0(\Omega) $ 内で関連する汎関数の強制性とコンパクト性をどのように保証できるか？
• RQ5 多重性の閾値を決定する際、汎関数 $ \theta^* $ の意義は何か？

主な発見

• $ \mu > \theta^* $ であれば、$ ]\alpha_f, \beta_f[ $ の開区間 $ A \subseteq ]\alpha_f, \beta_f[ $ が存在し、任意の $ \lambda \in A $ に対して、$ H^1_0(\Omega) $ 内に少なくとも3つの弱解が存在する。
• 弱解のノルムは、$ \lambda \in A $ に対して一様に、ある $ \rho > 0 $ よりも小さい。
• 汎関数 $ \theta^* $ は、$ F(x,u(x)) $ の積分が非ゼロである関数の下での下界として定義され、結果が成り立つためには非負でなければならない。
• 結果は、$ \sup_{\xi \in \mathbb{R}} |F(\xi)| < \infty $ を満たす非線形項 $ f $ に対して適用可能であり、$ F(\xi) = \int_0^\xi f(s)ds $ であり、$ f \in \mathcal{A} $ に属する。
• 例として $ h(s) = \frac{s}{(\text{meas}(\Omega)\text{osc}_\mathbb{R}F)^2 - s^2} $ を構成し、有理関数型非線形項に対しても手法が適用可能であることを示した。
• 本手法により、非アフィンなパラメータ依存性に対する定理Aの最初の応用を提供し、文献における空白を埋めた。