[論文レビュー] A multiscale quasilinear system for colloids deposition in porous media: Weak solvability and numerical simulation of a near-clogging scenario

Michael Eden, Christos Nikolopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 45被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、微細構造が変化する多孔質媒体におけるコロイド粒子の拡散、凝集、破壊、堆積をモデリングするマルチスケール準線形系を提案する。シュードラの不動点定理に基づく弱可解性枠組みを用いて、解の存在を確立し、数値シミュレーションを通じて粒子堆積に起因する進行的つまりの発生を示す。微細構造半径が増加するに従い、有効拡散係数が低下することが明らかになった。

ABSTRACT

We study the weak solvability of a quasilinear reaction-diffusion system nonlinearly coupled with an linear elliptic system posed in a domain with distributed microscopic balls in $2D$. The size of these balls are governed by an ODE with direct feedback on the overall problem. The system describes the diffusion, aggregation, fragmentation, and deposition of populations of colloidal particles of various sizes inside a porous media made of prescribed arrangement of balls. The mathematical analysis of the problem relies on a suitable application of Schauder's fixed point theorem which also provides a convergent algorithm for an iteration method to compute finite difference approximations of smooth solutions to our multiscale model. Numerical simulations illustrate the behavior of the local concentration of the colloidal populations close to clogging situations.

研究の動機と目的

• 多孔質媒体におけるコロイド輸送と微細構造の進化をモデリングする準線形2スケール系に対する弱解の存在を確立すること。
• 粒子の拡散と反応が、半径依存の有効拡散係数を通じて進化する微細構造と非線形に結合された連成系を分析すること。
• 2次元多孔質媒体における近いつまり状況を、時間とともに変化する半径を有する分布型円形不純物を伴ってシミュレートすること。
• 固定点議論に基づく、滑らかな解の数値近似のための収束性を示す有限差分スキームを提供すること。
• コロイド堆積によって駆動される微細構造の変化が、拡散係数の低下と局所的つまりパターンを引き起こす仕組みを示すこと。

提案手法

• 2スケール系を定式化：コロイド凝集体のモル濃度（ui）を記述する準線形放物型PDEと、微細構造不純物の半径rを記述するODEの結合。
• 周期的単位細胞内に半径rの円形障害物を有するセル問題を用いて、有効拡散係数Di(r)をモデル化し、ねじれや透過率の変化を反映させる。
• 可逆的吸着／脱吸をモデル化するロビン型交換項を含め、フラックスを（aiui − βiv）に比例させる。
• コロイド粒子のサイズに応じた凝集と破壊過程を記述するため、スモルフチスキ方程式を適用する。
• 多孔質率および半径に関する非退化性仮定の下で、Schauderの不動点定理を用いて連成系の弱可解性を証明する。
• マルチスケール構造を保つ時間・空間離散化を施した2スケール有限差分スキームを実装し、数値シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多孔質媒体におけるコロイド輸送と進化する微細構造を結合する準線形マルチスケール系に対して、弱解が存在するか？
• RQ2 微細構造不純物の進化する半径rに依存する有効拡散係数Di(r)はどのように変化するか？
• RQ3 粒子堆積の影響が2次元多孔質媒体における局所的拡散係数とつまりパターンに及ぼす数値的効果は何か？
• RQ4 微細構造の成長によって、初期の粒子輸送状態から進行的つまりへの遷移を系が捉えられるか？
• RQ5 初期微細構造半径の空間的分布が、つまりの発展および拡散係数の低下に与える影響は何か？

主な発見

• 多孔質率および微細構造半径に関する非退化性仮定の下で、提案されたマルチスケール準線形系に対して弱解が存在することが示された。
• Schauderの不動点定理に基づく数値スキームは、滑らかな解の収束する有限差分近似をもたらした。
• シミュレーションでは、微細構造半径rが増加するに従い、有効拡散係数が低下し、低D領域が時間とともに拡大することが明らかになった。
• つまりは空間的に不均一である：初期のrが大きい領域はより速く成長し、低拡散係数および高粒子濃度の局所的領域を形成する。
• rが大きい領域では有効拡散係数D(x,t)が顕著に低下し、等高線図ではr分布とは逆のパターンを示した。
• u1およびvの濃度プロファイルは時間依存の蓄積を示し、u1はrが大きくDが小さい領域でピークを示しており、堆積駆動によるつまりが確認された。