[論文レビュー] A multivalued version of the Radon-Nikodym theorem, via the single-valued Gould integral

Domenico Candeloro, Anca Croitoru+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Advanced Banach Space Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非加法的かつコンパクトな凸値をとる測度に関する実数値関数のGould積分を用いて、新しい多値Radon-Nikodým定理を確立する。Banach格子における集合値測度の表現にRådström埋め込み定理を応用することで、強い絶対連続性および吸収性の条件下で、加法的 multimeasure が有界可測関数のGould積分として表現可能であることを証明する。これは、有限次元においても非加法的設定への先行結果の拡張である。

ABSTRACT

Some topics concerning the Gould integral are presented here: new results of integrability on finite measure spaces with values in an M-space are given, together with a Radon-Nikodym theorem relative to a Gould-type integral of real functions with respect to a multisubmeasure.

研究の動機と目的

• 集合値積分の文脈において、非加法的測度に対する多値Radon-Nikodým定理の開発。
• 曖昧なmultisubmeasureに関するGould積分を用いた可積分 multimeasure の概念の導入と検討。
• 加法的 multimeasure が非加法的かつコンパクトな凸値測度に関するGould型積分として表現可能となる条件の確立。
• 既存のRadon-Nikodým結果を、特に有限次元Banach空間において非加法的状況に拡張すること。ここでは、関与するmultimeasureのうち一つだけが加法的であることが必要となる。
• 主結果の応用として、曖昧multimeasureに対する置換型定理の導出。

提案手法

• Banach空間 X のコンパクトな凸部分集合をBanach格子 C(Ω) の元として表現するためにRådström埋め込み定理を用い、集合値測度を C(Ω) 値関数として扱えるようにする。
• 非加法的かつコンパクトな凸値測度 m に関する実数値関数のGould積分を定義し、スカラー積分を多値設定に一般化する。
• multimeasure Γ が曖昧multisubmeasure M に対して強い絶対連続性および吸収性を満たす条件を課し、Radon-Nikodým導関数の存在を保証する。
• 既知の [29] および [18] の積分可能性に関する結果を応用し、積分表現を満たす有界可測関数 f の存在を確立する。
• 等長埋め込み U を用いて問題を C(Ω) に移行し、先行定理により U(Γ) および U(M) のRadon-Nikodým導関数の存在が保証される。
• 補題 3.7 を適用し、リーマン型和の収束を用いて、∫_A f(t)φ(t) dμ = ∫_A f dM が成り立つことを示し、置換則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度のうち一つが非加法的である場合、集合値測度に対してRadon-Nikodým型表現を確立できるか。
• RQ2 加法的 multimeasure が非加法的かつコンパクトな凸値測度に関する実数値関数のGould積分として表現可能となる条件は何か。
• RQ3 Rådströmの埋め込みを用いて、Gould積分をBanach格子値 multimeasure にどのように拡張できるか。
• RQ4 吸収性条件が多値設定における有界可測Radon-Nikodým導関数の存在を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 Gould積分枠組みを用いて、曖昧multimeasureに対する置換則を導出できるか。

主な発見

• 強い絶対連続性および吸収性の条件下で、加法的 multimeasure Γ が Γ(E) = ∫_E f dM (すべての E ∈ A に対して) として表現可能である、新しい多値Radon-Nikodým定理（定理 4.20）が確立された。
• 有限次元の場合でさえ、本結果は新規である。なぜなら、M の一方が非加法的であっても、Γ は加法的のままにできるからである。
• Rådström埋め込みおよび文献における既知の積分可能性結果により、有界可測Radon-Nikodým導関数 f の存在が保証される。
• f と M に関するGould積分は、Γ の集合値積分表現と一致し、すべての可測集合 E に対して ∫_E f dM = Γ(E) が成り立つ。
• 置換型定理が導出された：すべての A ∈ A に対して ∫_A f dM = ∫_A f(t)φ(t) dμ が成り立つ。ここで M は確率測度 μ に関する多価関数 φ のGould積分である。
• リーマン型和 ∑_J f(t_J)φ(t_J)μ(J) が C(Ω) のノルムで Γ(T) に収束することを証明し、fφ の μ-可積分性および置換公式の正当性を確認した。