[論文レビュー] A multivariate version of the disk convolution

Margit Rösler, Michael Voit|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非整数で実数のパラメータをもつタイプBCqのヘクマン＝オプダムのジャコビ多項式について、連続的で正の積公式を確立し、古典的なディスク畳み込み結果を高ランクへ拡張する。カルソンの定理による解析接続を用いて、コンパクトな対称空間上に1パラメータ族の可換ハイパーグループを構成し、q ≥ 1 および実数 p ∈ ]2q−1, ∞[ に対して、よく知られたディスクハイパーグループを一般化する。

ABSTRACT

We present an explicit product formula for the spherical functions of the compact Gelfand pairs $(G,K_1)= (SU(p+q), SU(p) imes SU(q))$ with $p\ge 2q$, which can be considered as the elementary spherical functions of one-dimensional $K$-type for the Hermitian symmetric spaces $G/K$ with $K= S(U(p) imes U(q))$. Due to results of Heckman, they can be expressed in terms of Heckman-Opdam Jacobi polynomials of type $BC_q$ with specific half-integer multiplicities. By analytic continuation with respect to the multiplicity parameters we obtain positive product formulas for the extensions of these spherical functions as well as associated compact and commutative hypergroup structures parametrized by real $p\in]2q-1,\infty[$. We also obtain explicit product formulas for the involved continuous two-parameter family of Heckman-Opdam Jacobi polynomials with regular, but not necessarily positive multiplicities. The results of this paper extend well known results for the disk convolutions for $q=1$ to higher rank.

研究の動機と目的

• コンパクトなグラスマン多様体上で、古典的なディスクハイパーグループの積公式を高ランク（q ≥ 2）に一般化すること。
• 実数で非整数のパrameterをもつヘクマン＝オプダムのジャコビ多項式に対する連続的で正の積公式を確立すること。
• 実数 p ∈ ]2q−1, ∞[ に対して、空間 Xq = T × [0,1]^{q-1} 上に1パラメータ族の可換ハイパーグループ構造を構成すること。
• 整数 p ≥ 2q から得られる積公式を、実数 p > 2q−1 まで解析接続によって拡張すること。
• 得られるハイパーグループの双対空間およびハール測度を特定すること。

提案手法

• コンパクト空間 Xq 上でのGelfandの対 (SU(p+q), SU(p)×SU(q)) の球関数の積公式を、カルタン分解を用いて導出する。
• 球関数を、実数 p および l ∈ R に依存する重みパrameter k = (p−q−l, 1/2+l, 1) をもつヘクマン＝オプダム多項式 Rλ(k; t) として表現する。
• カルソンの定理を適用し、整数 p ≥ 2q から実数 p ∈ ]2q−1, ∞[ へ積公式を解析接続する。
• 特異値と極座標分解を用いた変数変換を行い、積分を ∆(d(t,t';v,w)) と SU(q) 上のハール測度を含む形に変換する。
• Rλ(k; t) の係数が k に関して有理関数であることから、Re(l) > 0 に対して l に関して正則であることが保証され、l ∈ [0, ∞[ へ拡張可能となる。
• Bq および SU(q) 上の積分を含む核型積公式を導出し、最終的な公式の実数性を保証するために実部をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(p+q)/SU(p)×SU(q) 上の球関数の積公式を、整数 p ≥ 2q から実数 p > 2q−1 へ拡張できるか？
• RQ2 実数 p ∈ ]2q−1, ∞[ に対して、Xq 上に関連する可換ハイパーグループ構造はどのようなものか？
• RQ3 一般の実数 l ≠ 0 に対して、得られる積公式は正であるか。それとも l = 0 のみに限るか？
• RQ4 q ≥ 2 の場合、積公式は既知の1次元ディスク畳み込みをどのように一般化するか？
• RQ5 積分核は、正性解析やさらなる調和解析に適した形に表現可能か？

主な発見

• 実数パラメータ p ∈ ]2q−1, ∞[ および l ∈ [0, ∞[ に対して、k = (p−q−l, 1/2+l, 1) をもつヘクマン＝オプダムのジャコビ多項式 Rλ(k; t) について、連続的で正の積公式が確立された。
• 積公式は、Rλ(k; t)Rλ(k; t′) = (1/κp) ∫∫ Rλ(k; arccos(σsing(d(t,t';v,w)))) · Re[ (∆(d)/∆(cos t)∆(cos t′))^l ] · ∆(Iq−w*w)^{p−2q} dvdw として与えられ、t1, t′1 ≠ π/2 の場合に有効である。
• q = 1 の場合、この公式はジャコビ多項式 R(α,β)n(cos 2θ) を含む既知の形に還元され、変数変換のもとでクーンヴァイダーの正の積公式と同値であることが示された。
• 得られるハイパーグループ構造は可換かつコンパクトであり、トーラス T に同型なコンパクト部分群をもつ。
• 商空間 Xq/T はアラケーブ Aq に同定され、Aq 上のハイパーグループ構造は F = C の場合に [RR] の既知の結果を回復する。
• 解析接続がなされたにもかかわらず、一般の l ≠ 0 に対して積公式の正性は未解決のまま、1次元の場合でさえ未解決のままである。