[論文レビュー] A multiverse perspective on the axiom of constructiblity

Joel David Hamkins|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Philosophy and Theoretical Science参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、構成可能性の公理（V=L）が制限的であるとみなされるのを避けようとする一般的な根拠、いわゆる「V≠L via maximize」論拠が、絶対的で固定された順序数の概念への暗黙のコミットメントに依存していると主張する。集合論における上向きに拡張可能な multiverse 視点では、任意の集合的宇宙がより高く、より大きな宇宙へと拡張可能であるため、V=L は制限的ではなく、multiverse 内で繰り返し現れる可能性である。なぜなら、任意のモデルが V=L を満たすように端末拡張可能だからである。主な貢献は、V=L を制限的であると捉えるのではなく、常に拡張可能なより広範な multiverse 框組みの中での可能性として再定式化することにある。

ABSTRACT

I shall argue that the commonly held V not equal L via maximize position, which rejects the axiom of constructibility V = L on the basis that it is restrictive, implicitly takes a stand in the pluralist debate in the philosophy of set theory by presuming an absolute background concept of ordinal. The argument appears to lose its force, in contrast, on an upwardly extensible concept of set, in light of the various facts showing that models of set theory generally have extensions to models of V = L inside larger set-theoretic universes.

研究の動機と目的

• V=L の拒否を制限的という哲学的根拠に基づいて行うのを挑戦すること、特に『V≠L via maximize』論拠を対象とする。
• この論拠が絶対的で固定された順序数の背景的概念を暗黙のうちに仮定していること、それが multiverse 視点と整合しないことの示唆。
• 上向きに拡張可能な集合の概念のもとでは、V=L は制限的ではなく、multiverse の繰り返し現れる特徴であると主張すること。
• multiverse フレームワークが、任意の集合的宇宙が V=L を満たす宇宙へと拡張可能であるという考えを支持することを示すこと。
• V=L を大基数への障壁ではなく、大基数が依然として存在しうるより高い宇宙に拡張することの結果であると再定式化すること。

提案手法

• 任意の集合的宇宙がより高く、より大きな宇宙に拡張可能である、上向きに拡張可能な集合の概念を採用する。
• 文献[9]における multiverse 視点を用いて、集合論の可算モデルがフル multiverse の特徴をどのように反映するかを分析する。
• 反射原理を適用し、可算モデルの「おもちゃ的 multiverse」に見られる普遍的特徴が、フル multiverse においても成立すると推論する。
• 任意の ZFC のモデル内での V=L を満たす強制拡張および端末拡張の存在を分析する。
• 大基数および 0# が V=L とどのように関係するかを検討し、L 内でそれらが存在しないとしても、V=L を満たすモデルへの拡張が妨げられないことを示す。
• 理論間の公平な解釈および翻訳（例：φ ↦ φ^L）のアイデアを用いて、V=L が哲学的・数学的に孤立しているわけではないと主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『V≠L via maximize』論拠は、絶対的で固定された順序数の概念を仮定しているのか？
• RQ2 任意の集合的宇宙が V=L を満たすより大きな宇宙に拡張可能であるならば、公理 V=L は制限的と見なせるのか？
• RQ3 multiverse 視点は、V=L が制限的か非制限的かという哲学的評価をどのように変えるのか？
• RQ4 可算モデルの特徴（例：強制拡張および V=L のモデルの存在）が、フル multiverse の特徴をどの程度反映しているのか？
• RQ5 multiverse フレームワークは、大基数の存在と、ある拡張された宇宙における V=L の可能性を調和させることができるか？

主な発見

• 『V≠L via maximize』論拠は、絶対的で固定された順序数の背景的概念に依存しており、これは multiverse 視点では必ずしも必要ではない。
• 任意の ZFC の可算モデルは、V=L を満たすモデルへと端末拡張可能であり、これは multiverse 内で V=L が一般的な可能性であることを示唆する。
• multiverse フレームワークは、0# や大基数を含む任意の集合的宇宙が、V=L を満たす宇宙へと拡張可能であるという考えを支持する。
• 構成可能宇宙 L は、固定された構造としてではなく、より高い拡張された宇宙における可能性的真実としてアクセス可能になる。
• multiverse 視点により、『V≠L』論拠の逆転が可能になる：順序数を拡張することで、V=L を望みの回数だけ回復可能であり、これは制限ではなく繰り返し現れる特徴となる。
• 上向きに拡張可能な集合の概念のもとでは、V=L を拒否する哲学的根拠は成立せず、V=L はすべての大基数公理と両立可能である。