[論文レビュー] A natural construction for the real numbers

Norbert A’Campo|ArXiv.org|Jan 3, 2003

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、加法的整数群から直接構成される、自然な実数の構成法を提示する。実数は、加法性からの有界なずれを示す整数値写像（「勾配」）の同値類として定義され、加法、乗法、順序はすべて勾配の代数的演算から導かれる。この構成により、ℝに同型な完備でアーベル的で全順序をもつ体が得られ、√2 や根号で表せない代数的数を含む明示的な例が提示される。

ABSTRACT

A new construction of the real number system, that is built directly upon the additive group of integers and has its roots in the definition due to Henri Poincaré of the rotation number of an orientation preserving homeomorphism of the circle.

研究の動機と目的

• 整数の加法群から直接、実数の新しい直感的な構成法を提供すること。
• 整数値写像の内在的性質に基づき、実数における算術演算（加法、乗法）および順序を定義すること。
• 得られる構造が、完備でアーベル的で全順序をもつ体のすべての公理を満たすことを示すこと。
• √2 や根号で表せない代数的数を含む非自明な例を用いて構成法を説明すること。
• この構成法が有界コホモロジーとどのように関係するかを示し、R/Z が H²_b(ℤ, ℤ) に同型であることを示すことにより、解析学と代数的トポロジーを結ぶ。

提案手法

• 勾配を、{λ(m+n)−λ(m)−λ(n) | m,n∈ℤ} が有限集合であるような写像 λ: ℤ → ℤ として定義する。
• 有限差分による勾配の同値関係を定義する：λ∼λ′ とは、{λ(n)−λ′(n) | n∈ℤ} が有限集合であることを意味する。
• 実数をこの関係による勾配の同値類として定義する。
• 代表的な勾配の点ごとの和を用いて実数の加法を定義する：(α+β)(n) = α(n)+β(n)。
• 代表的な勾配の合成を用いて乗法を定義する：(α∘β)(n) = α(β(n))。有界性を用いた適切な定義の正当化を伴う。
• 自然数上での勾配の漸近的挙動に基づき正の性質と順序を定義し、ℝ 上に全順序を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数の加法群から、自然な代数的構造を用いて実数を直接構成できるか？
• RQ2 加法、乗法、順序を、整数値写像の性質のみから定義できるか？
• RQ3 この構成法は、√2 のような無理数や根号で表せない代数的数を自然に表現できるか？
• RQ4 この構成法と有界コホモロジーの関係は何か、特に H²_b(ℤ, ℤ) とどう関係するか？
• RQ5 この構成法により、完備でアーベル的で全順序をもつ体 ℝ に同型な構造が得られるか？

主な発見

• 実数の集合 ℝ は、勾配の集合を有限差分による同値関係で割った商として得られ、加法と乗法はそれぞれ代表的な勾配の点ごとの和と合成により定義される。
• この構成により、標準的な ℝ に同型で、完備でアーベル的で全順序をもつ体が得られ、すべての体および順序の公理を満たす。
• √2 は、δ(n)² ≤ 2n² かつ δ(n) ≈ √2 n を満たす整数値写像 δ の集合 Δ に対して σ(n) = max{δ(n) | δ ∈ Δ} で定義される奇数勾配 σ によって表現される。
• この構成により、ℝ/ℤ が有界コホモロジー群 H²_b(ℤ, ℤ) に同型であることが示され、同型は a ↦ θ_a(n,m) = [(n+m)a] − [na] − [ma] で与えられる。
• 有理数は、ある q > 0 に対して n ↦ λ(qn) が線形となる勾配 λ に対応し、整数は λ(n) = jn と表される線形勾配に対応する。
• ℝ 上の順序は体構造に埋め込まれている：x < y とは、ある t ≠ 0 が存在して y−x = t² であることを意味する。これにより、順序が体演算のみから定義可能であることが示される。