[論文レビュー] A natural extension of Mittag-Leffler function associated with a triple infinite series

Ismail T. Huseynov, Arzu Ahmadovay+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、三重無限級数を用いて定義される新規の3変数ミタグ・レフラー関数を導入し、古典的なミタグ・レフラー関数を3変数に拡張する。積分表現、分数階微分の性質（カプト型およびリーマン・リウヴィル型）を確立し、3つの異なる分数階数を持つ多項式分数階微分方程式に対して正確な解析的解を導出することで、複雑な物理系のモデル化におけるその有効性を示している。

ABSTRACT

We establish a new natural extension of Mittag-Leffler function with three variables which is so called "trivariate Mittag-Leffler function". The trivariate Mittag-Leffler function can be expressed via complex integral representation by putting to use of the eminent Hankel's integral. We also investigate Laplace integral relation and convolution result for a univariate version of this function. Moreover, we present fractional derivative of trivariate Mittag-Leffler function in Caputo type and we also discuss Riemann- Liouville type fractional integral and derivative of this function. The link of trivariate Mittag-Leffler function with fractional differential equation systems involving different fractional orders is necessary on certain applications in physics. Thus, we provide an exact analytic solutions of homogeneous and inhomogeneous multi-term fractional differential equations by means of a newly defined trivariate Mittag-Leffler functions.

研究の動機と目的

• 分数階微積分への応用を目的として、3つの独立変数を有するミタグ・レフラー関数の新たな多次元拡張を開発すること。
• 新規の3変数関数に対して、積分表現および分数階微分の性質（カプト型およびリーマン・リウヴィル型）を確立すること。
• 3つの異なる分数階数を含む同次および非同次多項式分数階微分方程式に対する正確な解析的解を提供すること。
• 電気回路などの物理系における関数の応用可能性を、明示的な解の式を用いて示すこと。

提案手法

• 三重無限級数として定義される3変数ミタグ・レフラー関数を提唱する：$ E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha}(\lambda_1 z^\alpha, \lambda_2 z^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 z^{\alpha-\beta}) = \sum_{l,p,k=0}^\infty \binom{l+p+k}{l,p,k} \frac{\lambda_1^l \lambda_2^p \lambda_3^k z^{l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta)}}{\Gamma(l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta) + \alpha)} $。
• ハンケルの積分を用いて、複素積分表現を導出し、関数の解析的性質を明示する。
• 1変数版の関数について、ラプラス積分関係および畳み込み性質を調査する。
• 3変数ミタグ・レフラー関数のカプト型およびリーマン・リウヴィル型の分数階微分および積分を定義し、それらを分析する。
• 3つの異なる分数階数（0.8, 0.6, 0.4）を持つ多項式分数階微分方程式のコーシー型初期値問題に、関数を応用する。
• 明示的な解の式を導出する：$ y(r) = \left(1 + \lambda_1 r^\alpha E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha+1}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) \right) y_0 + \int_0^r (r-s)^{\alpha-1} E_{\cdots}(\lambda_1 (r-s)^\alpha, \dots) g(s) ds $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なミタグ・レフラー関数は、三重無限級数を用いてどのように自然に3変数に拡張できるか？
• RQ2 新規の3変数ミタグ・レフラー関数の積分表現および分数階微積分の性質（カプト型およびリーマン・リウヴィル型）は何か？
• RQ3 3つの異なる分数階数を持つ多項式分数階微分方程式に対して、3変数ミタグ・レフラー関数が正確な解析的解を提供できるか？
• RQ4 3つの独立した分数階微分を含む非同次多項式分数階微分方程式の解の構造はいかなるものか？
• RQ5 電気回路などの物理モデルにおいて3変数関数はどのように出現し、その漸近的性質は何か？

主な発見

• 3変数ミタグ・レフラー関数は三重級数として定義される：$ E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) = \sum_{l,p,k=0}^\infty \binom{l+p+k}{l,p,k} \frac{\lambda_1^l \lambda_2^p \lambda_3^k r^{l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta)}}{\Gamma(l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta) + \alpha)} $。
• 関数はハンケルの積分を用いた複素積分表現を有し、さらなる解析的考察が可能になる。
• 3変数関数のカプト型分数階微分が導出され、分数階微分方程式の解法に応用されている。
• 非同次多項式分数階微分方程式の解は、$ y(r) = \left(1 + \lambda_1 r^\alpha E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha+1}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) \right) y_0 + \int_0^r (r-s)^{\alpha-1} E_{\cdots} \cdots g(s) ds $ の形で表現される。
• 例として $ \alpha=0.8, \beta=0.6, \gamma=0.4, \lambda_1=0.5, \lambda_2=3, \lambda_3=5, y_0=2 $ を用いるとき、解は $ y(r) = 2 + r^{0.8} E_{0.8,0.4,0.2,1.8}(0.5r^{0.8}, 3r^{0.4}, 5r^{0.2}) $ となる。
• 本稿は、3つの異なる分数階数を持つ多項式分数階微分方程式に対して、3変数ミタグ・レフラー関数が正確な解析的解を提供することを確立しており、従来の1変数および2変数の結果を拡張している。