[論文レビュー] A nearly tight upper bound on tri-colored sum-free sets in characteristic 2

Robert Kleinberg|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{F}_2^n$ における三色和自由集合のサイズに対する、ほぼタイトな上界 $6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$ を、Croot-Lev-Pach多項式法の変種を用いて確立している。さらに、下界 $\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$ を示し、特徴的2の設定において指数的ギャップをサブ指数的要因まで埋めることに成功した。

ABSTRACT

A tri-colored sum-free set in an abelian group $H$ is a collection of ordered triples in $H^3$, $\{(a_i,b_i,c_i)\}_{i=1}^m$, such that the equation $a_i+b_j+c_k=0$ holds if and only if $i=j=k$. Using a variant of the lemma introduced by Croot, Lev, and Pach in their breakthrough work on arithmetic-progression-free sets, we prove that the size of any tri-colored sum-free set in $\mathbb{F}_2^n$ is bounded above by $6 {n \choose \lfloor n/3 floor}$. This upper bound is tight, up to a factor subexponential in $n$: there exist tri-colored sum-free sets in $\mathbb{F}_2^n$ of size greater than ${n \choose \lfloor n/3 floor} \cdot 2^{-\sqrt{16 n / 3}}$ for all sufficiently large $n$.

研究の動機と目的

• 大規模な三項等差数列を含まない集合の上界と下界の指数的ギャップを、$\mathbb{F}_2^n$ における三色和自由集合の設定で埋めること。
• 特徴的2における三色和自由集合に、多項式法を一般化すること。ここで、従来の等差数列を含まない集合は自明に大きく、有用ではない。
• このような集合のサイズに対するほぼタイトな上界を提供すること。既知の下界とサブ指数的要因の範囲で一致する。
• 確率的構成を用いて、上界がサブ指数的要因の範囲でタイトであることを示すこと。

提案手法

• Croot-Lev-Pachの補題を $\mathbb{F}_2^n$ 内の完全に一致する系列に適応し、ターゲット集合のサイズを通じて三色和自由集合と結びつける。
• $d = \lfloor n/3 \rfloor$ を用いて、多項式の線形空間 $L_{n,d}$ を用い、完全に一致する系列のターゲット集合のサイズを制限する。
• 二変数多項式の係数行列のランクを用いて上界を導出し、$3 \dim L_{n,d} \leq 6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$ を得る。
• ランダムな線形形式 $h_i(\cdot, w)$ を $({\mathbb{Z}}/M{\mathbb{Z}})^{n+1}$ 上で用い、三色和自由集合 $Z(w)$ を生成する確率的構成を採用する。
• 重複する事象の包含除算法を用いて、$Z(w)$ の期待値を評価し、$Y_0(w), Y_1(w), Y_2(w)$ 内の過剰に数え上げられた三つ組を差し引く。
• $M = 4\binom{2n/3}{n/3} + 1$ と選び、$\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$ の中で三項等差数列を含まない大きな部分集合 $B$ を選ぶことで、$Z(w)$ の期待サイズを高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三色和自由集合の設定において、$\mathbb{F}_2^n$ における三項等差数列を含まない集合の上界と下界の指数的ギャップを埋めることは可能か？
• RQ2 多項式法を用いて、$\mathbb{F}_2^n$ における三色和自由集合に対してほぼタイトな上界を得ることは可能か？
• RQ3 特徴的2の設定で、上界とサブ指数的要因の範囲で一致する下界を構成することは可能か？
• RQ4 多項式法において、ターゲット集合のサイズと係数行列のランクの間の最適なトレードオフは何か？

主な発見

• 任意の $\mathbb{F}_2^n$ 内の三色和自由集合のサイズは、多項式係数行列のランクの制限から、$6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$ 未満であることが示された。
• この上界は、十分大きな $n$ に対して、$\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$ よりも大きいサイズの三色和自由集合が存在することから、ほぼタイトである。
• 構成された三色和自由集合 $Z(w)$ の期待サイズは、$\binom{n}{n/3} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$ を上回り、下界のサブ指数的要因と一致する。
• 構成は、ランダムな線形形式 $w$ と、三項等差数列を含まない大きな部分集合 $B \subset \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$ に依存しており、有効な三つ組が高確率で得られるようにしている。
• 上界はサブ指数的要因の範囲でタイトであり、下界が上界の基本項から $2^{-\sqrt{16n/3}}$ の範囲内にあるためである。
• この方法は、Croot-Lev-Pach多項式法を三色構成に拡張し、単一集合の等差数列を含まない問題を超えて適用可能であることを示している。