[論文レビュー] A necessary and sufficient condition on scattering for the regularly hyperbolic systems

Tokio Matsuyama, Michael Ruzhansky|Aug 27, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時刻に依存する係数をもつ定期的超仮性系における散乱の必要十分条件を確立する。解が漸近的に自由であるための必要十分条件は、係数がR安定であること（すなわち、時間微分が $ L^1(\mathbb{R}) $ に属し、その漸近的極限からの差が可積分であること）である。この結果は、波動方程式およびキルヒホッフ方程式に関する先行研究を拡張し、漸近的積分法を用いて波動演算子および散乱演算子の構成を可能にする。

ABSTRACT

The present paper is devoted to finding a necessary and sufficient condition on the occurence of scattering for the regularly hyperbolic systems with time-dependent coefficients whose time-derivatives are integrable over the real line. More precisely, it will be shown that the solutions are asymptotically free if the coefficients are stable in the sense of the Riemann integrability as time goes to infinity, while each nontrivial solution is never asymptotically free provided that the coefficients are not R-stable as times goes to infinity. As a by-product, the scattering operator can be constructed. It is expected that the results obtained in the present paper would be brought into the study of the asymptotic behaviour of Kirchhoff systems.

研究の動機と目的

• 時刻に依存する係数をもつ定期的超仮性系の解が漸近的に自由となる正確な条件を特定すること。
• 2階波動方程式における散乱のための従来の十分条件を、一般の1階超仮性系に拡張すること。
• 漸近的積分技法を用いて、このような系の波動演算子および散乱演算子を構成すること。
• R安定性（無限大における係数の差のリーマン可積分性）が散乱挙動を決定づける役割を明確にすること。
• 時変係数をもつキルヒホッフ型系の漸近的解析の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 時刻に依存する係数をもつ1階超仮性系の解の長期間挙動を分析するために、漸近的積分法を用いる。
• R安定性を、$ a_{ij}(t,\theta) - a_{ij}^{\flat}(\theta) \to 0 $ が $ L^1(\mathbb{R}) $ で成り立つ条件として定義する。ここで、$ \flat $ は $ \to \infty $ または $ \to -\infty $ を表す。
• 記号 $ A(t,\theta) $ の極限挙動を用いて、定数係数の漸近的系 $ A_{\flat}(\theta) $ を定義し、正則超仮性を保証する。
• 列 $ \theta_\nu \to \flat\flat\flat $ 沿いの近似解の極限を用いて、基本行列解 $ W_{\flat}(t,\theta) $ を構成し、一様収束を保証する。
• 波動演算子 $ \mathbf{W}_{\flat} $ の存在および有界性を証明する。これは、$ \mathbf{W}_{\flat} $ が漸近的系の解を元の系の解に $ L^2 $-ノルムで写像することを示すことで達成される。
• プランシュレの定理を適用して、$ \mathbf{W}_{\flat} $ が $ (L^2(\mathbb{R}^n))^m $ 空間間の同型写像であることを検証し、ユニタリ同値性および散乱を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定期的超仮性系の時刻に依存する係数に対して、解が漸近的に自由であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 R安定性（$ a_{ij}(t,\theta) - a_{ij}^{\flat}(\theta) $ の可積分性として定義される）が、散乱状態の存在にどのように影響するか？
• RQ3 漸近的積分法を用いて、このような系に対して波動演算子および散乱演算子を厳密に構成できるか？
• RQ4 特性根 $ \rho_j(t,\theta) $ の漸近的挙動が、散乱特性をどれほど決定づけるか？
• RQ5 これらの結果は、2階波動方程式に関する先行研究をどの程度一般化し、キルヒホッフ系にどのように適用できるか？

主な発見

• 定期的超仮性系のコーシー問題の解 $ U(t,x) $ は、$ t \to \flat\flat\flat $ のとき、係数がR安定（すなわち、$ \norm{a_{ij}(t,\theta) - a_{ij}^{\flat}(\theta)}_{L^1(\mathbb{R})} < \flat $）である場合に限り、漸近的に自由である。
• 係数がR安定でない場合、非自明な解はすべて漸近的に自由ではなく、したがって散乱は発生しない。
• 波動演算子 $ \mathbf{W}_{\flat} $ は $ (L^2(\mathbb{R}^n))^m $ 上に存在し、有界かつ全単射であり、基本行列解の極限を用いて構成される。
• 散乱演算子 $ S $ はユニタリであり、$ S = \mathbf{W}_+^* \mathbf{W}_- $ として明示的に構成可能であり、$ \mathbf{W}_{\flat} $ は漸近的積分により定義される。
• 基本行列 $ W_{\flat}(t,\theta) $ は $ D_t W_{\flat}(t,\theta) = A(t,\theta) W_{\flat}(t,\theta) $ を満たし、すべての $ t \neq 0 $ で行列式が非ゼロであるため、可逆性が保証される。
• プランシュレの定理および $ \mathbf{N}(t,\theta)^{-1} - \mathbf{N}_{\flat}(\theta)^{-1} $ と $ \mathbf{\Psi}(t,\theta) $ の減衰を用いて、$ \norm{V_{\flat}(t,\bullet) - U(t,\bullet)}_{(L^2)^m} \to 0 $ が $ t \to \flat\flat\flat $ のとき確立される。