[論文レビュー] A negative index meta-material for Maxwell's equations

Ben Schweizer, Agnes Lamacz|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、極端な誘電率を有するインクルージョンと薄く接続されたワイヤーを有する周期的メタマテリアルに対して、均質化されたマクスウェル方程式を厳密に導出する。有効透磁率 μeff(ω) は、体積インクルージョン内の誘電体共鳴により負になる可能性がある一方、ワイヤーのネットワークが磁気的に見えないままでも、その誘電率 εw が負であっても、有効誘電率 εeff が負になることが示され、結果として μeff と εeff が同時に負となる負の屈折率材料が得られる。

ABSTRACT

We derive the homogenization limit for time harmonic Maxwell's equations in a periodic geometry with periodicity length $η>0$. The considered meta-material has a singular sub-structure: the permittivity coefficient in the inclusions scales like $η^{-2}$ and a part of the substructure (corresponding to wires in the related experiments) occupies only a volume fraction of order $η^2$; the fact that the wires are connected across the periodicity cells leads to contributions in the effective system. In the limit $η o 0$, we obtain a standard Maxwell system with a frequency dependent effective permeability $μ^{\mathrm{eff}}(ω)$ and a frequency independent effective permittivity $\varepsilon^{\mathrm{eff}}$. Our formulas for these coefficients show that both coefficients can have a negative real part, the meta-material can act like a negative index material. The magnetic activity $μ^{\mathrm{eff}} eq 1$ is obtained through dielectric resonances as in previous publications. The wires are thin enough to be magnetically invisible, but, due to their connectedness property, they contribute to the effective permittivity. This contribution can be negative due to a negative permittivity in the wires.

研究の動機と目的

• 極端な誘電率と薄く接続されたワイヤーを有する周期的メタマテリアルにおいて、負の屈折率材料が数学的にどのように生じるかを正当化すること。
• 周期長 η → 0 の極限において、時間調和マクスウェル方程式の均質化を分析すること。
• 有効誘電率 εeff と有効透磁率 μeff が同時に負の実部を持つ条件を特定すること。
• ワイヤーの体積分率が無視できるにもかかわらず、その接続性が εeff に与える寄与を明確にすること。
• 共振効果と幾何的寄与を捉えた μeff(ω) と εeff の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 振動係数 εη と µ ≡ µ0 を有するマクスウェル方程式に対する周期的均質化理論の適用。
• 2種類のインクルージョンをモデル化：体積インクルージョン Ση（誘電率 εbη−2）とワイヤーインクルージョン Γη（誘電率 εwη−2）、両者とも周期 η で周期的。
• 弱形式における極限を取るために、振動するテスト関数 ψη(x) = ϑjη(x/η)ϕ(x) を用いる。
• μeff(ω) を計算するための細胞問題としての磁場 Hj の解法。ヒルベルト空間における回転と発散制約を伴う変分定式化を含む。
• 有効誘電率 εeff を、細胞問題に起因する寄与 Aeff と接続ワイヤーに起因する幾何的寄与 πα²εw の和として導出する。
• スペクトル解析と強制的双一次形式を用いて、細胞問題の解の存在と一意性を確立し、μeff(ω) の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 薄く接続されたワイヤーと高対比インクルージョンを有するメタマテリアルが、同時に負の εeff と μeff を有することで負の有効屈折率を示すことができるか？
• RQ2 ワイヤーの体積分率が無視できるにもかかわらず、その接続性が εeff に与える影響は何か？
• RQ3 体積インクルージョン内の誘電体共鳴が、どのようにして負の有効透磁率 μeff(ω) を生じる数学的メカニズムは何か？
• RQ4 なぜワイヤーは μeff(ω) に寄与しないのか？ また、その寄与が均質化極限においてどのように εeff(ω) に反映されるか？
• RQ5 η → 0 の極限における有効パラメータ μeff(ω) と εeff の正確な形は何か？ また、両者が同時に負の実部を持つための条件は何か？

主な発見

• 細胞問題のスペクトル解析により、体積インクルージョン Ση 内の共鳴によって、有効透磁率 μeff(ω) が負になることが示された。
• 有効誘電率 εeff は、εeff = Aeff + πα²εw で与えられ、Aeff は細胞問題に起因し、πα²εw は接続ワイヤーに起因する幾何的寄与である。
• ワイヤー寄与 πα²εw は周波数に依存せず、ワイヤー網状構造が εeff に与える影響を明示的に定量化する。
• ワイヤーの体積分率が η² のオーダーで無視できるにもかかわらず、周期セル間での接続性のおかげで、有効誘電率に寄与している。
• 有効系は μeff(ω) と εeff を有する標準的なマクスウェル系として得られ、両係数の実部が負のとき、メタマテリアルが負の屈折率材料として振る舞うことが示された。
• 結果として、金属的インクルージョンがなくても、誘電体共鳴（μeff のため）と幾何的接続性（εeff のため）の組み合わせによって負の屈折率行動が生じうることが確認された。