[論文レビュー] A negative result on algebraic specifications of the meadow of rational numbers

J.A. Bergstra, Inge Bethke|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

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ひとこと要約

この論文は、標準的なミード・ヒルベルト公理に有限個の式 (1 + x₁² + ... + xₙ²) · (1 + x₁² + ... + xₙ²)⁻¹ = 1 を追加した場合でさえ、有理数のインボリューシブ・ミード ℚ₀ を有限に指定することはできない、という否定的結果を示している。これは、素数を法とする平方剰余の数論的性質と、特定の関数 f(n) の非有界性に依拠している。この関数 f(n) は、n が素数のとき、n からその最大の平方剰余を引いた値を表す。この結果は、Hₙ スキーマに一般化された場合でも、有限な指定が可能でないことを示しており、根本的な制限を特定している。

ABSTRACT

$\mathbb{Q}_0$ - the involutive meadow of the rational numbers - is the field of the rational numbers where the multiplicative inverse operation is made total by imposing $0^{-1}=0$. In this note, we prove that $\mathbb{Q}_0$ cannot be specified by the usual axioms for meadows augmented by a finite set of axioms of the form $(1+ \cdots +1+x^2)\cdot (1+ \cdots +1 +x^2)^{-1}=1$.

研究の動機と目的

• 有理数のインボリューシプル・ミード ℚ₀ が、標準的なミード公理と形式 (1 + x₁² + ... + xₙ²) · (1 + x₁² + ... + xₙ²)⁻¹ = 1 の有限集合を用いて有限に指定可能かどうかを調査すること。
• このような式を一般化したスキーマ Hₙ が、ℚ₀ の有限初期代数的指定を可能にするかどうかを特定すること。
• 素数を法とする平方剰余が、零を総括する素数体 (ℤ/pℤ)₀ において与えられた式が成立するかどうかを決定する役割を分析すること。
• 有限個のミード式の集合が ℚ₀ を指定するための必要十分条件を確立すること。その条件は、すべての素数 p に対して (ℤ/pℤ)₀ でその式が満たされない、という性質に基づく。
• ℚ₀ が Hₙ スキーマを用いて有限に指定可能かどうかという未解決の問題を解決し、数論的矛盾に基づいて否定的答えを提示すること。

提案手法

• 定理1を用いる。この定理は、ℚ₀ ≅ 𝒪(Σ_Md, Md + E) であるための必要十分条件として、すべての素数 p に対して (ℤ/pℤ)₀ ⊭ E であることを示す。
• 各自然数 n に対して、n が素数のとき、n からその最大の平方剰余を引いた値を返す関数 f(n) を定義する。
• Wrightの定理（定理2.3）を適用し、任意の有限非空な ℕ⁺ の部分集合が、無限個の素数を法として平方剰余であることを示す。
• これにより f(n) が非有界である、つまり任意に大きな値を取り得ることを証明する。
• 有限個の Hₙ 公理が ℚ₀ を指定可能であると仮定し、f(p) > n となる十分に大きな f(p) を持つ素数 p に対して、その公理が (ℤ/pℤ)₀ で成立しないことを示すことで矛盾を構成する。
• 定理1により、(ℤ/pℤ)₀ がすべての公理を満たすような素数 p が存在するため、ℚ₀ は Md + Γ の初期代数と同型でない。ここで Γ は {Hₙ | n ∈ ℕ} の有限部分集合である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数のインボリューシプル・ミード ℚ₀ は、標準的なミード公理と形式 (1 + x₁² + ... + xₙ²) · (1 + x₁² + ... + xₙ²)⁻¹ = 1 の有限集合を用いて有限に指定可能か？
• RQ2 複数変数に一般化された Hₙ スキーマの有限部分集合が、ℚ₀ の有限初期代数的指定を可能にするか？
• RQ3 素数を法とする平方剰余が、零を総括する素数体 (ℤ/pℤ)₀ において与えられた式が成立するかどうかを決定する役割は何か？
• RQ4 n が素数のとき、n からその最大の平方剰余を引いた値として定義される関数 f(n) は、有界であるか、あるいは任意に大きく成長するか？
• RQ5 構造 ℐ(Σ_Md, Md + L₁) は ℚ₀ と同型であるか、それとも ℚ₀ を部分代数として含まない非キャンセレーション型の特徴0のミードを表すか？

主な発見

• n が素数のとき、n からその最大の平方剰余を引いた値として定義される関数 f(n) は、Wrightの定理と、すべての小さな整数が平方剰余であるような素数の構成により、非有界であることが証明された。
• 任意の有限個の Hₙ 公理に対して、すべての公理を満たす (ℤ/pℤ)₀ を持つ素数 p が存在する。つまり、これらの公理は (ℤ/pℤ)₀ をモデルとして除外しない。
• すべての公理が (ℤ/pℤ)₀ で満たされるような素数 p が存在するため、定理1により、ℚ₀ は Md + Γ の初期代数と同型でない。ここで Γ は {Hₙ | n ∈ ℕ} の有限部分集合である。
• よって、Hₙ スキーマを用いて ℚ₀ を有限に指定することはできない。ただし、f(x) · f(x)⁻¹ = 1 という単一の式（f(x) = (x²−2)(x²−3)(x²−6)）を用いれば指定可能である。
• 初期代数 ℐ(Σ_Md, Md + L₁) は ℚ₀ と同型ではなく、ℚ₀ を部分代数として含まない特徴0の非キャンセレーション型ミードである。
• この結果により、L₄ から L₂ に弱める指定を Hₙ スキーマを用いてさらに有限に拡張することはできないことが確認され、ℚ₀ の代数的指定における根本的な制限が特定された。