[論文レビュー] A Nehari manifold for non-local elliptic operator with concave-convex non-linearities and sign-changing weight function

Sarika Goyal, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、凹凸非線形性および符号変化する重み関数を有する非局所的 p-分数階楕円型方程式に対して、少なくとも2つの非負解の存在を確立する。Nehari多様体理論および繊維写像解析を用いて、正のパrameter λ < λ₀ が十分に小さい場合、Sobolev空間 W^{α,p}(ℝⁿ) 内で2つの異なる非負弱解が存在することを証明する。

ABSTRACT

In this article, we study the existence and multiplicity of non-negative solutions of following $p$-fractional equation: $$ \quad \left\{\begin{array}{lr}\ds \quad - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dxdy = \la h(x)|u|^{q-1}u+ b(x)|u|^{r-1} u \; ext{in}\; \Om \quad \quad \quad \quad u \geq 0 \; \mbox{in}\; \Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n), \quad \quad\quad \quad\quad u =0\quad\quad ext{on} \quad \mb R^n\setminus \Om \end{array} ight. $$ where $\Om$ is a bounded domain in $\mb R^n$, $p\geq 2$, $n&gt; p\al$, $\al\in(0,1)$, $0&lt; q0$ and $h$, $b$ are sign changing smooth functions. We show the existence of solutions by minimization on the suitable subset of Nehari manifold using the fibering maps. We find that there exists $\la_0$ such that for $\la\in (0,\la_0)$, it has at least two solutions.

研究の動機と目的

• 凹凸非線形性を有する非局所的 p-分数階楕円型方程式の非負解の存在および多重性を調査すること。
• 符号変化する重み関数を有する非局所作用素に対して、Nehari多様体技術を拡張すること、これは以前に研究されていなかったケースである。
• エネルギー汎関数に関連する繊維写像の挙動を分析し、Nehari多様体上の臨界点を同定すること。
• 変分法を用いて、λ > 0 が十分小さい場合に少なくとも2つの異なる非負弱解の存在を確立すること。
• λ₀ > 0 の閾値を特定し、λ ∈ (0, λ₀) の範囲で問題が複数の解を持つことを示すこと。

提案手法

• 特定の減衰および対称性条件を満たす積分核を介して定義される作用素 𝒟_K を用いて、非局所的 p-分数階方程式の弱解を定式化する。
• 符号変化する重み関数 h(x) および b(x) を含む非同次項を組み込んだ、空間 X₀ = {u ∈ X : u = 0 almost everywhere in ℝⁿ \ Ω} 上でのエネルギー汎関数 J_λ(u) を定義する。
• u ∈ X₀ に対して t ↦ J_λ(tu) を分析することにより繊維写像解析を適用し、臨界点を Nehari 集合 𝒩_λ⁺, 𝒩_λ⁻, 𝒩_λ⁰ に分類する。
• Nehari多様体の分解を用いて、エネルギー汎関数を繊維写像に1つまたは2つの臨界点が存在する領域に分離する。
• λ < λ₀ のとき、𝒩_λ⁺ および 𝒩_λ⁻ 上での J_λ の下界が達成されることを証明し、2つの異なる臨界点が得られることを示す。
• X₀ 内での最小化列の強収束を確立し、𝒩_λ⁰ = ∅ であることを用いて、最小化子がそれぞれ 𝒩_λ⁺ および 𝒩_λ⁻ 上に存在することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凹凸非線形性および符号変化する重みを有する非局所的 p-分数階楕円型方程式は、複数の非負解を持つのか？
• RQ2 パrameter λ は、このような非局所的問題の解の数を決定づける役割を果たすのか？
• RQ3 Nehari多様体技術は、符号変化する重みおよび非同次非線形性を有する非局所作用素に適応可能か？
• RQ4 エネルギー汎関数に関連する繊維写像が正確に2つの臨界点を持つ条件は何か？
• RQ5 λ₀ > 0 の閾値が存在し、λ ∈ (0, λ₀) の範囲で問題が少なくとも2つの異なる非負弱解を持つのか？

主な発見

• λ₀ > 0 の閾値が存在し、すべての λ ∈ (0, λ₀) に対して方程式は少なくとも2つの非負弱解を持つ。
• 2つの解の存在は、Nehari多様体の正の部分 𝒩_λ⁺ および負の部分 𝒩_λ⁻ 上でのエネルギー汎関数の最小化によって確立される。
• 𝒩_λ⁺ および 𝒩_λ⁻ 上での J_λ の最小化列は X₀ 内で強収束するため、最小化子の存在が確認される。
• Nehari多様体は3つの互いに素な集合に分解され、𝒩_λ⁰ = ∅ であるため、𝒩_λ⁺ および 𝒩_λ⁻ 上の臨界点は分離されており、非退化していることが保証される。
• Gâteaux微分を u⁻ に対してテストすることにより、両解が ℝⁿ 上 almost everywhere で非負であることが示され、u⁻ が消える必要があることが判明する。
• 汎関数 J_λ は X₀ 上で強制的かつ弱下付き半連続であるため、Nehari集合上での最小化子の存在が支持される。