[論文レビュー] A new algorithm for graph center computation and graph partitioning according to the distance to the center

Frédéric Protin, Proissl, Claudius+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、修正された隣接行列の反復的行列累乗を用いて、グラフの中心を計算し、ノードをその中心からの距離で分割する、新しい並列処理可能なアルゴリズムを提示する。この手法は、Floyd-Warshallに比べて、特に密なグラフや浅いグラフにおいて優れている。実験では、非ゼロ要素のみを追跡し、行列累乗の単調性を利用した最適化により、最大10倍の高速化が達成された。

ABSTRACT

The radius of a graph is an important structural parameter which plays a key role in social network analysis and related applications. It measures the minimum shortest path distance that is required to reach all nodes in the graph from a single node. A node from which all other nodes are within a distance equal to the radius is called a center of the graph. In a graph with n nodes and m edges, the center and the radius can be determined in Õ(nm) by computing shortest path distances between all pairs of nodes. Fine-grained complexity results suggest that asymptotically faster algorithms are unlikely to exist. In this paper, we describe a novel randomized algorithm for exact radius computation in weighted digraphs with an expected running time in Õ(d³m) where d is the so-called combinatorial dimension. Our methodology is inspired by Clarkson’s algorithm for LP-type problems. The value of d denotes the size of a basis, which is a smallest subset of nodes which enforce the same radius as the whole node set. While we show that there exist graphs with d ∈ Θ(n), our empirical analysis reveals that even large real-world graphs have small combinatorial dimension. This allows us to compute the radius in near-linear time on such instances. The significantly improved scalability can be clearly observed in our experimental evaluation on a diverse set of benchmark graphs.

研究の動機と目的

• グラフの中心とその中心からの距離によるノード分割を、より高速かつ並列処理可能なアルゴリズムを開発すること。
• Floyd-Warshall や Bellman-Ford といった従来のアルゴリズムの限界を解消すること。これらは不要な情報を過剰に計算し、この特定のタスクでは遅い。
• ノードの中心からの径路長（eccentricity）に基づいて階層的レベルに分類することで、グラフの可視化と解析を効率的に行えるようにすること。
• 行列累乗の計算を最適化し、非ゼロ要素のみを追跡し、グラフ接続性の構造的性質を活用すること。

提案手法

• 自己ループを表現し、長さnまでの経路数を数えるために、対角成分を1に設定した修正された隣接行列 ˜A を使用する。
• 連続する累乗 ˜An を計算し、(˜An)ij がノードiからノードjへの長さ最大nの経路数を表すようにする。
• 中心ノード C0 は、少なくとも1つの行がすべて非ゼロになる最小のn（n0）において、すべての要素が非ゼロである行として特定される。
• ノードは、初めて完全に接続される段階に基づいてレベル Ck に分割される：Ck は ˜An0+k において初めて完全に接続されるが、それより前に完全に接続されていないノードを含む。
• 非ゼロ係数を1に置き換える（しきい値処理）ことで計算量を削減する最適化と、経路数の単調性を利用して重複する要素をスキップする手法を実施する。
• 改良された手法では、反復的行列乗算に早期終了と行のテストを組み合わせ、行が完全に非ゼロになるタイミングを効率的に検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列累乗に基づくアプローチは、Floyd-Warshallに比べて、広範なグラフタイプにおいてグラフの中心とノードの階層的分類をより効率的に計算できるか？
• RQ2 従来のアルゴリズムと比較して、グラフの密度や深さに応じて、提案手法の性能はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 しきい値処理や早期終了といった最適化は、正しさに影響を与えることなく、計算時間をどれほど短縮できるか？
• RQ4 Floyd-Warshall が最適とされるスパarsなグラフや線形グラフにおいても、このアルゴリズムは効率的か？
• RQ5 このアルゴリズムは自然に並列化可能であり、実際の応用において顕著な高速化を達成できるか？

主な発見

• 提案手法は、テストされたほとんどのグラフ設定においてFloyd-Warshallを上回り、密なグラフでは最大10倍の高速化が達成された。
• 深さP=13、ノード数N=500のグラフでは、新アルゴリズムの中央値実行時間は52秒であったのに対し、Floyd-Warshallは198秒であった。
• 浅いグラフ（P=2）では、さらに顕著な高速化が得られ、N=400の場合に100倍の高速化（100秒 vs 1秒）が達成された。
• アルゴリズムの性能は、設計上、非ゼロ要素の急速な伝搬に依存するため、グラフの接続性が高くなるほど向上する。
• n0の推定に二分探索に類似したアプローチを用いた改善3は、深さのあるグラフにおいて顕著な高速化をもたらすが、浅いグラフではわずかに遅延する。
• このアルゴリズムは本質的に並列処理可能であり、各行列乗算と行のチェックが複数のプロセッサに分散可能である。