[論文レビュー] A New Application of Orthogonal Range Searching for Computing Giant Graph Diameters

Amir Abboud, Virginia Vassilevska Williams+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 37被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、直交範囲検索とパラメータ化計算複雑性を活用して、スパースグラフにおける半径および直径を真の部分二次時間で近似計算するアルゴリズムと、固定パラメータの部分二次時間アルゴリズムを提示する。Hitting Setおよび直交ベクトルの予想に基づくタイトな条件付き下界を確立し、有向半径の2-近似と無向直径の3/2-近似が部分二次時間内での最適であることを示している。

ABSTRACT

A well-known problem for which it is difficult to improve the textbook algorithm is computing the graph diameter. We present two versions of a simple algorithm (one being Monte Carlo and the other deterministic) that for every fixed h and unweighted undirected graph G with n vertices and m edges, either correctly concludes that diam(G) < hn or outputs diam(G), in time O(m+n^{1+o(1)}). The algorithm combines a simple randomized strategy for this problem (Damaschke, IWOCA'16) with a popular framework for computing graph distances that is based on range trees (Cabello and Knauer, Computational Geometry'09). We also prove that under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), we cannot compute the diameter of a given n-vertex graph in truly subquadratic time, even if the diameter is an Theta(n/log{n}).

研究の動機と目的

• スパースグラフにおける半径および直径が真の部分二次時間で計算可能かどうかを特定すること。
• 有向および無向グラフにおけるさまざまな直径および半径の変種について、近似および固定パラメータの部分二次時間アルゴリズムを開発すること。
• Hitting Setおよび直交ベクトルの予想に基づく条件付き下界を確立し、より良い近似比や実行時間を排除すること。
• スパースグラフにおける基本的グラフパラメータについて、既知のアルゴリズムと条件付き難易度のギャップを埋めること。

提案手法

• 直交範囲検索を用いて、片方向距離を伴う有向半径の2-近似アルゴリズムを提案し、時間計算量 Õ(m√n) で実行可能である。
• 時間計算量 Õ(m√n) で無向直径の3/2-近似アルゴリズムを導入し、既知の下界と一致する。
• 直径および中心性推定の下界を確立するため、直交ベクトル問題からの新しい還元を採用する。
• 木幅をパラメータとして用い、半径および直径の 2O(k log k)n1+o(1) 時間アルゴリズムを設計し、条件付き下界により近似的最適性を示す。
• Hitting Set問題を半径計算に還元し、部分二次時間内での (3/2−δ)-近似がHitting Set予想を反証することを示す。
• OVからの還元を適用して、すべての中心性の (5/3−δ)-近似およびラウンドトリップ直径の (3/2−δ)-近似が部分二次時間内では不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースグラフにおいて、半径および直径は真の部分二次時間で計算可能か？
• RQ2 妥当な予想の下で、部分二次時間内での直径および半径の最良近似比は何か？
• RQ3 木幅を用いたパラメータ化アルゴリズムは、半径および直径を部分二次時間で達成可能か？
• RQ4 部分二次時間における近似アルゴリズムに対して、タイトな条件付き下界は存在するか？
• RQ5 直交ベクトルおよびHitting Set問題からの還元は、近似比の最適性を確立できるか？

主な発見

• 片方向距離を伴う有向半径の2-近似アルゴリズムは Õ(m√n) 時間で実行可能であり、Hitting Set予想の下では (2−δ)-近似が O(n2−ε) 時間で達成されることはありえない。
• 無向グラフでは、直径の3/2-近似が Õ(m√n) 時間で達成可能であり、部分二次時間内での (3/2−δ)-近似はHitting Set予想を反証する。
• 部分二次時間内に無向スパースグラフのすべての中心性について (5/3−δ)-近似が可能であれば、Orthogonal Vectors予想が反証される。
• 木幅 k のグラフでは、半径および直径が 2O(k log k)n1+o(1) 時間で計算可能であり、(3/2−δ)-近似が 2o(k)n2−ε 時間で達成されればHitting Set予想が反証される。
• 部分二次時間内にラウンドトリップ直径の (3/2−ε)-近似が可能であれば、Orthogonal Vectors予想が反証される。
• 本稿ではタイトな境界を確立した：標準的予想の下では、無向直径に対して3/2-近似より良くすることは不可能であり、有向半径に対しては2-近似が真の部分二次時間内での最適である。