[論文レビュー] A new approach for solving nonlinear Thomas-Fermi equation based on fractional order of rational Bessel functions

Kourosh Parand, Amin Ghaderi-Kangavari+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、領域切断を伴わずに半無限領域上での非線形トーマス＝フェルミ方程式を解くために、新規の分数階数有理ベッセル関数配置法（FRBC）を導入する。非線形方程式の線形化に準線形化法（quasilinearization）を組み合わせ、高精度スペクトル解法としてFRBCを用いることで、200個の配置点で十分に高い精度（30桁）の初期勾配 $ y'(0) = -1.588071022611375312718684509423 $ を達成する。

ABSTRACT

In this paper, the fractional order of rational Bessel functions collocation method (FRBC) to solve Thomas-Fermi equation which is defined in the semi-infinite domain and has singularity at $x = 0$ and its boundary condition occurs at infinity, have been introduced. We solve the problem on semi-infinite domain without any domain truncation or transformation of the domain of the problem to a finite domain. This approach at first, obtains a sequence of linear differential equations by using the quasilinearization method (QLM), then at each iteration solves it by FRBC method. To illustrate the reliability of this work, we compare the numerical results of the present method with some well-known results in other to show that the new method is accurate, efficient and applicable.

研究の動機と目的

• x=0に特異性を有する半無限領域上での非線形トーマス＝フェルミ方程式を、高精度スペクトル法で解くこと。
• 分数階数有理ベッセル関数を基底関数として用いることで、領域変換や領域切断の必要を排除すること。
• ルンゲ＝クッタ法やアダムス＝バシフォース法といった従来の手法が、悪条件性と低精度を抱えるのに対し、より優れた数値的安定性と精度を達成すること。
• 原子エネルギー計算におけるトーマス＝フェルミ近似の根幹をなす初期勾配 $ y'(0) $ を、前例のない精度で計算すること。
• 非線形特異2点境界値問題を非有界領域上に効果的に解くためのFRBC法の有効性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、元の非線形トーマス＝フェルミ方程式を、逐次的線形微分方程式に変換するための準線形化法（QLM）を適用する。
• 各線形化された方程式は、分数階数有理ベッセル関数を基底関数として用いる、分数階数有理ベッセル関数配置法（FRBC）により解かれる。
• 配置点は、スペクトル的精度と安定性を保証するため、有理チビシェフ多項式の根として選定される。
• これらの配置点において残差誤差を最小化することで、$ N+1 $ 個の未知係数についての $ N+1 $ 個の線形方程式の連立一次方程式が得られる。
• 最適なスケーリングパラメータ $ L $ を決定する必要がなく、精度を損なわずに $ L=1 $ として設定できる。
• 収束が達成されるまで反復処理を継続し、最終的な解は分数階数有理ベッセル関数の切り捨て級数として近似される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階数有理ベッセル関数に基づくスペクトル法は、領域切断を伴わず、半無限領域上での非線形トーマス＝フェルミ方程式を効果的に解くことができるか？
• RQ2 本手法の精度と安定性は、ルンゲ＝クッタ法やアダムス＝バシフォース法といった古典的数値手法と比べて、どのように差がつくのか？
• RQ3 本手法により、初期勾配 $ y'(0) $ の何桁までの精度が達成可能か？
• RQ4 FRBC法は、非有界領域におけるスペクトル法で一般的に必要とされる最適パrameter（例：スケーリング因子 $ L $）のチューニングを不要にするか？
• RQ5 本手法は、他の非線形特異2点境界値問題に対しても、半無限区間上で効果的に適用可能か？

主な発見

• 200個の配置点で、初期勾配 $ y'(0) = -1.588071022611375312718684509423 $ の非常に高い精度（30桁）を達成する。
• 配置点数を増やすに従い、残差誤差が著しく減少し、高速収束性と高い数値的安定性を示す。
• $ y(x) $ および $ y'(x) $ の計算された解は、$ x \to \infty $ のとき $ y(x) \to 0 $ に収束し、境界条件を満たす。
• ルンゲ＝クッタ法やアダムス＝バシフォース法といった従来手法は、この問題に対して悪条件性と低精度を示すが、本手法はそれらを上回る性能を示す。
• 領域変換や領域切断が不要であり、スケーリングパラメータ $ L $ のチューニングも不要であるため、実装が簡素化される。
• FRBC法は、非線形特異常微分方程式を半無限領域上で解くための強力で効果的な代替手法であることが示され、広範な応用への可能性を秘めている。