[論文レビュー] A new approach in the theory of ordinary differential equations with small parameter

Mikhail A. Kamenskii, Oleg Makarenkov+1 more|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、孤立した周期解や変換のT周期性といった古典的仮定を回避する、微小パラメータを伴う常微分方程式の周期的およびコーシー問題を分析する新しい手法を提示する。線形化系と回転数理論を用いることで、非孤立な周期軌道を持つ非摂動系の場合でも、弱い条件下で周期解の存在を確立する。これは古典的平均化理論を一般化し、既知の結果を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

A topological degree based averaging principle has been proposed by J. Mawhin in his PhD thesis [J. Mawhin, Le Probleme des Solutions Periodiques en Mecanique non Lineaire, These de doctorat en sciences, Universite de Liege, 1969]. In the present paper we extend this result for the case when the unperturbed system is nonlinear but possesses a set of T-periodic solutions whose initial conditions constitute a boundary of some open set.

研究の動機と目的

• 古典的平均化理論の制限を解消すること。同理論は、孤立した周期解またはT周期変換を要件としている。
• 非摂動系（ε=0）に非孤立な周期軌道を持つ系を研究すること。これは応用において一般的だが、解析的に困難なケースである。
• より弱い位相的および構造的仮定の下で、ε > 0 が十分小さい場合のT周期解の存在を確立すること。
• 古典的平均化結果を一般化し、Bogolubov-Krylov や [7] からの既知の定理を、提案された枠組みの特別な場合として回復すること。
• 回転数と線形化ダイナミクスを用いて、周期的およびコーシー問題を統一的に取り扱う理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 非摂動系（ε=0）における流れΩを用いて、線形化系 (5): $\dot{y} = \phi(t,\Omega(t,0,\xi)) + \psi^{(2)}_{\text{der}}(t,\Omega(t,0,\xi))y$ を導入する。
• 初期条件 $y(s)=0$ を満たす (5) の解 $\eta(t,s,\xi)$ を定義し、回転数の計算に用いる。
• 境界 $\partial U$ 上での写像 $\eta(T,0,\cdot)$ の回転数 $\gamma(\eta(T,0,\cdot), U)$ を用いて、周期解の存在を示唆する。
• 位相的道具を適用：回転数理論とホモトピー不変性を用いて、ベクトル場を比較し、非ゼロインデックスを保証する。
• コーシー問題に対して、極限ベクトル場 $\Phi(\xi) = -\lim_{n\to\infty} \frac{\eta(-nT,0,\xi)}{nT}$ を定義し、長時間スケールでの解の近似に用いる。
• 漸近的近似性を確立：$\|x_\varepsilon(t) - \Omega(t,0,z(\varepsilon t))\| \leq \gamma$ を $t \in [0, d/\varepsilon]$ に対して、極限場 $\Phi$ を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動系（ε=0）に非孤立な周期軌道を持つ場合、ε > 0 が十分小さいとき、T周期解の存在を保証できるか？
• RQ2 標準的平均化で用いられる変換がT周期でない場合、古典的平均化理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 ε=0における解集合が連続体（例えば極限円周）である場合、周期解の存在を保証する位相的条件は何か？
• RQ4 線形化系の戻り写像の回転数を用いて、孤立解の仮定なしに周期解の存在を示唆できるか？
• RQ5 微分方程式 (1) のコーシー問題の解が、長時間にわたり平均化系の解とどれほど近接するか、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 定理1は、条件 (A0)、(A1)、(A2) の下で、すべての十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、集合 $X = \{x : \Omega(0,t,x(t)) \in U,\ t \in [0,T]\}$ 内に少なくとも1つのT周期解が存在することを確立する。
• 条件 (A2)、すなわち $\eta(T,0,\cdot)$ の $U$ 上での非ゼロ回転数は、ε=0 における解集合が非孤立であっても、周期解の存在を保証する。
• 定理2は、$\phi_1$ と $\phi_2$ のホモトピーが (A1) を満たす限り、回転数が不変であることを示し、異なる摂動の間での比較を可能にする。
• 定理3は、$\mathbb{R}^2$ 内の単純な周期軌道 $x_0$ の内部にT周期解が存在することを証明する。条件 (A3)₁ が成り立つ場合：$\int_0^T e^{-\int_0^t \text{Sp}\, \psi^{(2)}(\tau,x_0(\tau)) d\tau} \langle \phi(t-\theta,x_0(t)), \dot{x}_0(t)^\perp \rangle dt \neq 0$。
• 本枠組みは古典的結果を回復する：$\psi=0$ のとき、結果は標準的平均化理論に還元され、$\psi(t,x)=Ax$ で $A$ が固有値 $\pm i$ を持つとき、[7] の結果が得られる。
• コーシュ問題に関して、定理4は、極限場 $\Phi$ が存在し、$[0,d]$ 上で一意解を持つ限り、$t \in [0, d/\varepsilon]$ に対して解 $x_\varepsilon(t)$ が平均化軌道 $\Omega(t,0,z(\varepsilon t))$ から $\gamma$ 以内に留まることを保証する。