[論文レビュー] A new approach of the Chebyshev wavelets for the variable-order time fractional mobile-immobile advection-dispersion model

Mohammad Heydari|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、変数次数時間分数階移動-非移動拡散方程式を解くために、チェビシェフウェーブレット（CWs）を用いた新しい数値的手法を提案する。本手法は、CWsにおける変数次数分数階微分の新しい作用行列を導入し、問題を線形代数方程式系に変換することで、効率的かつ高精度に解を得る。本手法は、複数のテストケースにおいて高い精度と効率性を示した。

ABSTRACT

This paper proposes a new numerical method based on the Chebyshev wavelets (CWs) to solve the variable-order time fractional mobile-immobile advection-dispersion equation. To do this, a new operational matrix of variable-order fractional derivative in the Caputo sense for the CWs is derived and is used to obtain an approximate solution for the problem under study. Along the way a new family of piecewise functions is introduced and employed to derive a general method to compute this matrix. The main advantage behind the proposed approach is that the problem under consideration is transformed into a linear system of algebraic equations. So, it can be solved simply to obtain an approximate solution. The efficiency and accuracy of the proposed method are shown for some concrete examples. These results show that the proposed method is very efficient and accurate.

研究の動機と目的

• 変数次数時間分数階移動-非移動拡散方程式を効率的に解くための数値的手法を開発すること。
• チェビシェフウェーブレットにおける変数次数分数階微分の新しい作用行列を、カプート形式で導出すること。
• 分数階偏微分方程式を線形代数方程式系に変換し、解法を簡素化すること。
• CWsおよび区分的関数の性質を活用して、高精度かつ高効率を確保すること。
• 解析的ベンチマークを用いた数値例を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 区分的関数の新しい族を導入し、チェビシェフウェーブレットの変数次数分数階微分作用行列を計算する一般的な手順を導出する。
• 分数階偏微分方程式の解をチェビシェフウェーブレットの展開で表現する。
• 変数次数分数階微分作用行列を適用し、時間分数階微分項を行列-ベクトル積に変換する。
• ウェーブレットの性質を活用して、境界条件および初期条件を直接システムに組み込む。
• 元の問題を線形代数方程式系の解法に還元し、計算を効率的に行えるようにする。
• ウェーブレット分解能（M）を段階的に増加させることで収束性および精度を評価する実装を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェビシェフウェーブレットのための変数次数分数階微分作用行列を、分数階偏微分方程式を解くために体系的に導出できるか？
• RQ2 提案手法は、変数次数時間分数階拡散方程式の解をどの程度高精度に近似できるか？
• RQ3 ウェーブレット基底関数の数（M）を増加させることで、数値解の精度が向上するか？
• RQ4 ベンチマーク問題における解析解と比較して、本手法の性能はいかがなものか？
• RQ5 空間的・時間的依存性を有する複雑な変数次数分数階微分を、本手法は効率的に扱えるか？

主な発見

• 提案手法は高い精度を達成しており、例題3においてt=0.1、M=11のとき、絶対誤差が9.735×10⁻¹⁹まで低下した。
• Mの増加に伴い精度が著しく向上し、収束性およびロバスト性が確認された。
• 例題3では、M≥9のとき、誤差が10⁻¹⁵未満を維持しており、極めて高い精度が得られていることが示された。
• 例題4では、解u(x,t)=t³|2x−1|³が、視覚的および数値的結果によって最小限の絶対誤差で正確に捉えられていた。
• 本手法は、γ(x,t)=0.8+0.2e⁻ˣsin(t)のような複雑な空間的・時間的依存性を有する変数次数分数階微分を効率的に処理できた。
• 線形代数方程式系への変換により、計算が著しく簡素化され、実装も容易になった。