[論文レビュー] A New Approach to Generalized Fractional Derivatives

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 51被引用数 491

ひとこと要約

本稿では、パラメータ ρ を用いてリーマン＝リウビルおよびハダマールの分数階微分を統一する新しい一般化された分数階微分を導入する。この微分は、累乗変換を含む一般化された積分作用素を介して定義され、ρ = 1 のとき（リーマン＝リウビル）または ρ → 0 のとき（ハダマール）に既知の形に還元され、累乗関数に対する明示的な公式が導出され、エレデリ＝コーバー作用素とも関連している。

ABSTRACT

The author \mbox{(Appl. Math. Comput. 218(3):860-865, 2011)} introduced a new fractional integral operator given by, \[ \big({}^ρ\mathcal{I}^α_{a+}f\big)(x) = \frac{ρ^{1- α}}{Γ(α)} \int^x_a \frac{τ^{ρ-1} f(τ) }{(x^ρ- τ^ρ)^{1-α}}\, dτ, \] which generalizes the well-known Riemann-Liouville and the Hadamard fractional integrals. In this paper we present a new fractional derivative which generalizes the familiar Riemann-Liouville and the Hadamard fractional derivatives to a single form. We also obtain two representations of the generalized derivative in question. An example is given to illustrate the results.

研究の動機と目的

• リーマン＝リウビルおよびハダマールの分数階微分を一つの作用素に統一する新しい分数階微分を構築すること。
• 累乗変換パラメータ ρ を含む一般化された積分作用素を用いて、新しい分数階微分を定義すること。
• 新しい微分の解析的表現および性質を確立し、特に累乗関数への作用を含む。
• 新しい微分が、特別な場合として既知の分数階微分（リーマン＝リウビルおよびハダマール）に還元されることを示すこと。
• 新しい微分とエレデリ＝コーバー作用素との違いを明確にし、それらが同等でないことを示すこと。

提案手法

• パラメータ ρ を用いた新しい分数階微分作用素を $ {}^\rho D^\rho_{a+}f(x) = \frac{\rho^{1-\rho}}{\rho\text{-} \text{Gamma}(\rho)} \left( x^{1-\rho} \frac{d}{dx} \right) \int_0^x \frac{t^{\rho-1} f(t)}{(x^{\rho} - t^{\rho})^{1-\rho}} dt $ として定義し、リーマン＝リウビルおよびハダマールの形を一般化する。
• 一般化された微分の2通りの表現を導出：1つはメリン変換に類似した積分表現、もう1つはリーマン＝リウビルの積分および微分を含む級数展開。
• 累乗関数の積分を評価するために $ u = t^{\rho}/x^{\rho} $ の変数変換を用い、閉形式の結果を得る。
• ベータ関数およびガンマ関数の性質を応用して、明示的な公式 $ {}^\rho D^\rho_{0+}x^{\nu} = \frac{\Gamma(1 + \nu/\rho) \rho^{\alpha-1}}{\Gamma(1 + \nu/\rho - \alpha)} x^{\nu - \alpha\rho} $ を導出する。
• 新しい微分が ρ = 1 のときリーマン＝リウビル微分に、ρ → 0 の極限でハダマール微分に還元されることを示す。
• 新しい微分とエレデリ＝コーバー作用素を比較し、構造的類似性があるものの、カーネルおよびパラメータ依存性の違いにより、それらが同等でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウビルおよびハダマールの分数階微分を統一する1つの分数階微分作用素を構築することは可能か？
• RQ2 新しい微分におけるパラメータ ρ が作用素の挙動および特殊ケースに与える影響は何か？
• RQ3 累乗関数に適用した場合の一般化された分数階微分の解析的表現は何か？
• RQ4 新しい微分はエレデリ＝コーバー作用素とどのように関係し、どのような点で異なるか？
• RQ5 パrameter ρ が 1 や 0 に近づく極限における一般化された微分の挙動は何か？

主な発見

• 一般化された分数階微分 $ {}^\rho D^\rho_{0+}x^{\nu} $ は明示的に $ \frac{\Gamma(1 + \nu/\rho) \rho^{\alpha-1}}{\Gamma(1 + \nu/\rho - \alpha)} x^{\nu - \alpha\rho} $ として導出され、$ \rho > 0 $ に対して有効である。
• ρ = 1 のとき、結果は標準的なリーマン＝リウビル分数階微分に還元される：$ {}^1 D^\rho_{0+}x^{\nu} = \frac{\Gamma(1 + \nu)}{\Gamma(1 + \nu - \alpha)} x^{\nu - \alpha} $。
• α = 1 および ρ = 1 のとき、微分は $ \nu x^{\nu - 1} $ を与え、古典的微分と整合性があることを確認する。
• ρ → 0 のとき、作用素はハダマール分数階微分に近づき、2つの古典的形の統一を示している。
• 構造的類似性があるものの、カーネルおよびパラメータ依存性の違いにより、新しい微分はエレデリ＝コーバー作用素と同等でない。
• 数値プロットにより、累乗関数の一般化された微分の形状および凹性が、特に ρ ≈ 1 の近傍で ρ の値に極めて敏感であることが示されている。