[論文レビュー] A New approach to q-zeta function

Taekyun Kim|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、$p$-進 $q$-積分を用いて、Bernoulli数および多項式の新しい $q$-拡張を導入し、負の整数においてこれらの数を補間する新しい $q$-リーマンゼータ関数および $q$-ディリクレ $L$-関数を構成する。主な結果は、$\zeta_q^{(h)}(1-n,x) = -B_{n,q}^{(h)}(x)/n$ を通じて $q$-ゼータ関数と一般化された $q$-ベルヌーイ数を結ぶ関数等式であり、古典的ゼータ関数の補間の $q$-アナログを提供する。

ABSTRACT

We construct the new q-extension of Bernoulli numbers and polynomials in this paper. Finally we consider the q-zeta functions which interpolate the new q-extension of Bernoulli numbers and polynomials.

研究の動機と目的

• $p$-進 $q$-積分を用いて、ベルヌーイ数および多項式の新しい $q$-拡張を構築すること。
• 負の整数において新しい $q$-ベルヌーイ数を補間する $q$-ゼータ関数を定義すること。
• ディリクレ指標を含めるように構成を一般化し、$q$-ディリクレ $L$-関数を導出すること。
• 新しい $q$-ゼータ関数および $L$-関数の解析接続および関数関係を確立すること。

提案手法

• $p$-進 $q$-積分を用いて $(h,q)$-拡張ベルヌーイ数を定義する：$B_{n,q}^{(h)} = \int_{\mathbb{Z}_p} q^{hx} x^n d\mu_1(x)$。
• 生成関数 $F_q^{(h)}(t) = \frac{h\log q + t}{q^h e^t - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_{n,q}^{(h)} \frac{t^n}{n!}$ を導入する。
• メリン変換の技法を用いて生成関数と $q$-ゼータ関数を関連付ける：$\zeta_q^{(h)}(s,x) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-2} F_q^{(h)}(-t,x) dt$。
• 関数 $\zeta_q^{(h)}(s)$ を $\zeta_q^{(h)}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{(n-1)h}}{n^s} - \frac{h\log q}{s-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{(n-1)h}}{n^{s-1}}$ として導出する。
• ディリクレ指標を含む $L$-関数への拡張：$L_q^{(h)}(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh} \chi(n)}{n^s} - \frac{h\log q}{s-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh} \chi(n)}{n^{s-1}}$。
• 関数等式 $L_q^{(h)}(1-n,\chi) = -\frac{B_{n,q,\chi}^{(h)}}{n}$ を用いて補間を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $p$-進 $q$-積分を用いて、ベルヌーイ数の新しい $q$-拡張を構築できるか？
• RQ2 負の整数において新しい $q$-ベルヌーイ数を補間する $q$-ゼータ関数を定義できるか？
• RQ3 ディリクレ指標 $\chi$ の導入が $L$-関数の $q$-拡張にどのように影響するか？
• RQ4 新しい $q$-ゼータ関数と一般化された $q$-ベルヌーイ数との間の関数的関係は何か？
• RQ5 新しい $q$-ゼータ関数は、特に $\operatorname{Re}(s) > 1$ の場合にどのような解析的性質を有するか？

主な発見

• 新しい $q$-ゼータ関数は $\zeta_q^{(h)}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{(n-1)h}}{n^s} - \frac{h\log q}{s-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{(n-1)h}}{n^{s-1}}$ として定義され、$\operatorname{Re}(s) > 1$ で正則である。
• $q$-ゼータ関数は $\zeta_q^{(h)}(1-n,x) = -\frac{B_{n,q}^{(h)}(x)}{n}$ を満たし、負の整数における補間が確立される。
• $q$-ディリクレ $L$-関数は $L_q^{(h)}(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh} \chi(n)}{n^s} - \frac{h\log q}{s-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh} \chi(n)}{n^{s-1}}$ として定義され、$q$-ゼータ関数をディリクレ指標に拡張する。
• $L$-関数は $L_q^{(h)}(1-n,\chi) = -\frac{B_{n,q,\chi}^{(h)}}{n}$ を用いて、一般化された $q$-ベルヌーイ数を補間する。
• 生成関数と $L$-関数を結ぶために、$p$-進 $q$-積分およびメリン変換の技法が用いられる。
• $q$-拡張は古典的ゼータ関数および $L$-関数を一般化し、$\lim_{q \to 1} \zeta_q^{(h)}(s) = \zeta(s)$ および $\lim_{q \to 1} L_q^{(h)}(s,\chi) = L(s,\chi)$ が成り立つ。