[論文レビュー] A New Approach to Quantising Space-Time: I. Quantising on a General Category

C. J. Isham|ArXiv.org|Mar 17, 2003

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ひとこと要約

本稿は、因果集合やトポロジーなどの離散的時空構造を圏の対象として扱い、構造を保全する写像（矢印）を運動量の類似物として用いることで、時空構造のための新しい演算子に基づく量子化フレームワークを提案する。主な貢献は、矢印場を用いて『圏量子化モノイド』を構成し、そのモノイドのユニタリ表現を圏の対象上のヒルベルト空間に定義することにより、一貫した歴史解釈型量子重力理論の基礎を提供することにある。

ABSTRACT

A new approach is suggested to the problem of quantising causal sets, or topologies, or other such models for space-time (or space). The starting point is the observation that entities of this type can be regarded as objects in a category whose arrows are structure-preserving maps. This motivates investigating the general problem of quantising a system whose `configuration space' (or history-theory analogue) can be regarded as the set of objects in a category. In this first of a series of papers, we study this question in general and develop a scheme based on constructing an analogue of the group that is used in the canonical quantisation of a system whose configuration space is a manifold $Q\simeq G/H$ where G and H are Lie groups. In particular, we choose as the analogue of G the monoid of `arrow fields' on the category. Physically, this means that an arrow between two objects in the category is viewed as some sort of analogue of momentum. After finding the `category quantisation monoid', we show how suitable representations can be constructed using a bundle of Hilbert spaces over the set of objects.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体構造を持たない因果集合やトポロジーのような時空モデルを量子化するための厳密な数学的枠組みを提供すること。
• 固定されたバックグラウンド多様体が存在しないため、従来の正準量子化が失敗する離散的時空構造における量子力学的ダイナミクスの定式化の挑戦に応えること。
• 時空または空間的配置を表す対象を持つ圏上に量子理論を構築する一般化されたスキームを開発すること。
• 量子状態を圏の対象上の関数として定義し、ダイナミクスを退廃関数に符号化することで、一貫した歴史解釈型の量子重力理論を可能にすること。
• 圏の構造を拡張することにより、物質場や量子計量をフレームワークに組み込む基盤を築くこと。

提案手法

• 系の配置空間を圏 Q の対象の集合として扱い、それらの間の構造を保全する写像（矢印）を導入する。
• 対象の集合 Ob(Q) 上の矢印バンドルのセクションとして構成される「矢印場のモノイド」を、正準量子化における G/H 多様体における群 G の類似物として定義する。
• 対象 c に付随する各ファイバー K[c] を持つヒルベルト空間バンドルを Ob(Q) 上に定義し、量子状態をこのバンドルのセクションとして構成可能にする。
• 矢印場のヒルベルトバンドルへの作用を用いて、圏量子化モノイドのユニタリ表現を構築し、運動量演算子の役割を一般化する。
• 圏 Q を物質場などの構造を含むように拡張することで、追加の自由度の取り扱いが可能になる。
• 本アプローチは、正準量子化および HPO（歴史射影演算子）による一貫した歴史解釈型量子理論の両者と両立可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果集合やトポロジーのような多様体でない時空構造に対して、どのようにして量子理論を定式化できるか？（標準的な正準量子化が適用できないため。）
• RQ2 配置空間が多様体ではなく圏である系において、運動量の適切な類似物は何か？
• RQ3 標準的な Stone–von Neumann の定理が適用されない状況下で、圏上の量子理論のユニタリ表現をどのように構成できるか？
• RQ4 一貫した歴史解釈型の因果集合の量子重力理論において、退廃関数の役割は何か？ また、それがどのように圏量子化フレームワークから導出可能か？
• RQ5 圏 Q を変更することで、物質場や量子計量をフレームワークに組み込むことは可能か？

主な発見

• 本稿では、圏 Q 上の矢印場のモノイドを用いて『圏量子化モノイド』を構成し、G/H 対称空間における群 G の量子類似物として機能する。
• このモノイドのユニタリ表現は、Q の対象上のヒルベルト空間バンドルに実現され、標準的な量子状態空間の一般化を提供する。
• 本フレームワークは、状態が Ob(Q) 上の関数として定義される点で、正準量子化と一貫した歴史解釈の両方を支持する。
• 本手法は、離散的時空のための数学的に厳密なツールキットを提供するが、まだ退廃関数の具体的な形は示されていない。
• 圏 Q を拡張することで、例えば対象上に関数空間や計量場を含めるなど、追加の自由度を一般に組み込むのに十分な一般性を有する。
• 本稿は、c が因果集合である場合、各ファイバー K[c] に標準的でないヒルベルト空間構造が必要であることを強調しており、量子理論の基礎的数学的枠組みにおける根本的転換を示唆している。