[論文レビュー] A new approach to the asymptotics for Sobolev orthogonal polynomials

Manuel Alfaro, Juan J. Moreno–Balcázar+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限大の測度を持つSobolev直交多項式の漸近的性質を導出するための新規な解析的手法を導入する。特に、原点における微分を含むラゲール型内積に対して、古典的手法が無限大の場合に失敗するのを克服し、ベッセル関数を含む相対的漸近公式およびメーラー＝ハイン型の公式を確立する。その結果、原点付近の零点が $1/n$ のオーダーでゼロに収束することが明らかになり、微分項のおかげで最初の $r+1$ 個の零点が加速的にゼロに近づくことが示された。

ABSTRACT

In this paper we deal with polynomials orthogonal with respect to an inner product involving derivatives, that is, a Sobolev inner product. Indeed, we consider Sobolev type polynomials which are orthogonal with respect to $$(f,g)=\int fg dμ+\sum_{i=0}^r M_i f^{(i)}(0) g^{(i)}(0), \quad M_i \ge 0,$$ where $μ$ is a certain probability measure with unbounded support. For these polynomials, we obtain the relative asymptotics with respect to orthogonal polynomials related to $μ$, Mehler--Heine type asymptotics and their consequences about the asymptotic behaviour of the zeros. To establish these results we use a new approach different from the methods used in the literature up to now. The development of this technique is highly motivated by the fact that the methods used when $μ$ is bounded do not work.

研究の動機と目的

• 無限大の台を持つ測度を有する場合に、古典的手法が失敗するSobolev直交多項式の漸近的性質を研究するための新しい手法を開発すること。
• 標準的直交多項式（ラゲール型測度に関連）と対比する、モニックSobolev直交多項式の相対的漸近的性質を分析すること。
• これらの多項式に対するメーラー＝ハイン型の公式を導出し、その零点の漸近的挙動を特徴づけること。
• 無限大の場合に生じる無限大の接続係数の問題に取り組み、有界係数に依存する標準的手法が無効になるのを解消すること。

提案手法

• 無限大の測度を取り扱うために、級数展開とベッセル関数の恒等式に基づく新規な解析的枠組みを導入し、従来の再帰的アプローチに代わる。
• 多項式 $ Q_n(x) = \sum_{j=0}^{r+1} a_n^j R_{n-j}(x) $ の形でSobolev多項式と標準的直交多項式との間の関係を用いるが、係数 $ a_n^j $ が無限大に発散する無限大の場合でも有効である。
• ラゲール多項式およびその導関数の漸近展開を適用し、既知のベッセル関数 $ J_{\alpha}(2\sqrt{x}) $ を含む漸近公式を活用する。
• ベッセル関数の再帰的関係を用いて、級数の高階項を次数が上昇するベッセル関数の組み合わせとして表現する。
• スケーリングされた多項式 $ T_{n,r,s}(x/(n+j)) $ の極限挙動を確立し、それがベッセル関数の線形結合に収束することを示す。
• ヒューリッツの定理と準直交性を活用して、特に原点付近の零点の分布と収束性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の台を持つ測度を有する場合に、標準的手法が失敗するSobolev直交多項式の漸近的性質をどのように導出できるか？
• RQ2 無限大の場合に、Sobolev直交多項式と標準的直交多項式との間の相対的漸近的挙動はどのように異なるか？
• RQ3 これらの多項式の零点は、特に原点付近および正の実数直線上でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 原点における微分項の存在が、最小の零点がゼロに近づく速度をどのように加速させるか？
• RQ5 内積の離散的部品に穴がある場合に、Sobolev多項式に対しメーラー＝ハイン型の公式を確立できるか？

主な発見

• Sobolev直交多項式の相対的漸近的性質は、$ \alpha + 2r + 2 $ 以上の次数のベッセル関数の線形結合を含む極限によって特徴づけられ、明示的な係数が得られる。
• スケーリングされた多項式 $ \frac{(-1)^n}{n! \, n^\alpha} T_{n,r,s}\left(\frac{x}{n+j}\right) $ の極限は、$ J_{\alpha+2r+2}(2\sqrt{x}) $ および高次のベッセル関数を含む表現に収束する。
• 多項式 $ T_{n,r,s} $ の最初の $ r+1 $ 個の零点は、$ O(1/n) $ のオーダーでゼロに収束し、微分項のおかげで加速的収束が生じている。
• $ k \geq r+2 $ の場合、$ n \zeta_{n,k}^{r,s} \to j_{\alpha+2r+2,k-r-1} $ を満たす。ここで $ j_{\nu,m} $ は $ J_\nu $ の $ m $ 番目の正の零点を表す。
• 最小の零点の収束加速は、質量点 $ M_s $ の位置とは無関係である。ただし、離散的部品に原点における $ r+1 $ 個の微分が含まれている限り有効である。
• 本手法は、既存の文献の結果を自然に一般化し、特に単一微分項を含む内積に対する漸近公式を改善するとともに、[5]および[8]の結果を拡張している。