[論文レビュー] A New Approach to the $r$-Whitney Numbers by Using Combinatorial Differential Calculus

Jósé L. Ramírez, Miguel A. Méndez|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

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ひとこと要約

本稿は、grammar $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ に基づく組合せ的微分積分学を用いて、$r$-Whitney数の第二種に対する新しい組合せ的解釈を導入する。$m=1$ を特殊化することで、$r$-Stirling数の新しい組合せ的モデルが得られ、$[m]$-Stirling数の第一種および第二種が定義され、一般化されたタッチャール多項式族が得られる。主な貢献は、$r$-Dowling多項式が$[m]$-タッチャール多項式に関してシェッファー族であることを確立し、リオルダン行列とアンブロラ計算を用いてベルヌーイ多項式およびオイラー多項式を含む新しい行列式恒等式と組合せ的恒等式を導出することにある。

ABSTRACT

In the present article we introduce two new combinatorial interpretations of the $r$-Whitney numbers of the second kind obtained from the combinatorics of the differential operators associated to the grammar $G:=\{ y ightarrow yx^{m}, x ightarrow x\}$. By specializing $m=1$ we obtain also a new combinatorial interpretation of the $r$-Stirling numbers of the second kind. Again, by specializing to the case $r=0$ we introduce a new generalization of the Stirling number of the second kind and through them a binomial type family of polynomials that generalizes Touchard's. Moreover, we show several well-known identities involving the $r$-Dowling polynomials and the $r$-Whitney numbers using the combinatorial differential calculus. Finally we prove that the $r$-Dowling polynomials are a Sheffer family relative to the generalized Touchard binomial family, study their umbral inverses, and introduce $[m]$-Stirling numbers of the first kind. From the relation between umbral calculus and the Riordan matrices we give several new combinatorial identities involving the $r$-Whitney number of both kinds, Bernoulli and Euler polynomials.

研究の動機と目的

• 組合せ的微分積分学を用いて、$r$-Whitney数の第二種に対する新しい組合せ的解釈を構築すること。
• grammar $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ を用いた新しいモデルを通じて、$r$-Stirling数の第二種を一般化すること。
• $[m]$-Stirling数の第一種および第二種を定義し、タッチャール多項式の二項型一般化として$[m]$-タッチャール多項式を導入すること。
• $r$-Dowling多項式が$[m]$-タッチャール多項式に関してシェッファー族であることを確立すること。
• アンブロラ計算およびリオルダン行列を用いて、$r$-Whitney数、ベルヌーイ多項式、オイラー多項式を含む新しい組合せ的恒等式を導出すること。

提案手法

• 著者らは、grammar $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ に基づく組合せ的微分積分学を用いて、$r$-Whitney数の第二種の組合せ的解釈を生成する。
• 指数的リオルダン行列の$A$-列および$Z$-列を用いて、$r$-Whitney数の第二種の再帰的関係を導出する。
• アンブロラ計算および母関数技法を用いて、$r$-Dowling多項式が$[m]$-タッチャール多項式に関してシェッファー族であることを示す。
• $r$-Whitney数の第一種は、指数的リオルダン行列$\left\langle (1+mz)^{-r/m}, \ln(1+mz)^{1/m} \right\rangle$ によって特徴付けられ、$A$-列の母関数はベルヌーイ数を含む。
• $r$-Dowling多項式を再帰的に表現し、得られた行列式の展開により行列式恒等式を導出する。
• アンブロラ計算とリオルダン行列の関係を活用して、ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式を含む新しい恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のgrammarからの微分作用素を用いて、$r$-Whitney数の第二種をどのように再解釈できるか。
• RQ2 $m=1$ のとき、grammarに基づくモデルからどのような新しい組合せ的構造が生じ、$r$-Stirling数の第二種とどのように関係するか。
• RQ3 $[m]$-Stirling数の第二種から一般化されたタッチャール多項式族を構成可能か。その性質は何か。
• RQ4 $r$-Dowling多項式が$[m]$-タッチャール多項式に関してシェッファー族であるか。アンブロラ計算を用いてその証明は可能か。
• RQ5 リオルダン行列フレームワークから、$r$-Whitney数、ベルヌーイ多項式、オイラー多項式を含む新しい組合せ的恒等式をどのように導出できるか。

主な発見

• $r$-Whitney数の第二種は、第一種カウチ数から得られる係数を含む再帰的関係を満たす：$W_{m,r}(n+1,k+1) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{n+1}{k+1} \binom{k+j}{j} c_j m^j W_{m,r}(n,k+j)$。
• $r$-Whitney数の第一種は、指数的リオルダン行列$\left\langle (1+mz)^{-r/m}, \ln(1+mz)^{1/m} \right\rangle$ によって特徴付けられ、$A$-列の母関数はベルヌーイ数を含む。
• $r$-Dowling多項式$\mathcal{D}_n^{[m,r]}(x)$ は行列式恒等式${\mathcal{D}}_{n}^{[m,r]}(x)=(-1)^{n}\begin{vmatrix}1&x&&\cdots&&x^{n-1}&x^{n}\\ 1&w_{m,r}(1,0)&&\cdots&&w_{m,r}(n-1,0)&w_{m,r}(n,0)\\ 0&1&&\cdots&&w_{m,r}(n-1,1)&w_{m,r}(n,1)\\ \vdots&&&\cdots&&&\vdots\\ 0&0&&\cdots&&1&w_{m,r}(n,n-1)\end{vmatrix}$ を満たす。
• $r$-Dowling多項式は、アンブロラ計算および母関数解析を通じて、$[m]$-タッチャール多項式に関してシェッファー族であることが示された。
• $[m]$-Stirling数の第一種は、$[m]$-Stirling数の第二種のアンブロラ逆数として定義され、スターリング数の新しい一般化が得られた。
• リオルダン行列フレームワークおよびアンブロラ計算とリオルダン行列の関係を活用して、$r$-Whitney数、ベルヌーイ多項式、オイラー多項式を含む新しい組合せ的恒等式が導出された。