[論文レビュー] A new approach toward locally bounded global solutions to a $3D$ chemotaxis-stokes system with nonlinear diffusion and rotation

Jiashan Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形多孔質媒体拡散（$m > 9/8$）、テンソル値の感受性、回転フラックスを伴う3次元キモタクシス＝ストークス系に対して、グローバルに有界な弱解の存在を確立する。関数的 $∫_Ω n\ln n + ∫_Ω |\nabla\sqrt{c}|^2 + ∫_Ω |u|^2$ に新たな勾配類似構造を導入することで、すべての $t \in (0,T)$ に対して $n$、$c$、$u$ の局所的 $L^\infty$ 有界性を証明し、テンソル値のキモタクシス感受性を有する系における主要な課題を解決する。

ABSTRACT

We consider a degenerate quasilinear chemotaxis--Stokes type involving rotation in the aggregative term, \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot abla n=Δn^m- abla\cdot(nS(x,n,c)\cdot abla c),\quad x\in Ω, t>0, c_t+u\cdot abla c=Δc-nc, x\in Ω, t>0,\\ u_t+ abla P=Δu+n abla ϕ,x\in Ω, t>0,\\ abla\cdot u=0, x\in Ω, t>0, \end{array} ight. \end{equation} where $Ω\subseteq \mathbb{R}^3$ is a bounded convex domain with smooth boundary. Here $ S\in C^2(\barΩ imes[0,\infty)^2;\mathbb{R}^{3 imes3})$ is a matrix with $s_{i,j}\in C^1( \barΩ imes [0, \infty) imes[0, \infty)).$ Moreover, $|S(x,n,c)| \leq S_0(c)$ for all $(x,n,c)\in \barΩ imes [0, \infty) imes[0, \infty)$ with $S_0(c)$ nondecreasing on $[0,\infty)$. If $$m>\frac{9}{8}, $$ then for all reasonably regular initial data, a corresponding initial-boundary value problem for $(0.1)$ possesses a globally defined weak solution $(n,c,u)$. Moreover, for any fixed $T > 0$ this solution is bounded in $Ω imes (0,T)$ in the sense that $$ \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} +\|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(Ω)}+\|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} \leq C ~~\mbox{for all}~~ t\in(0,T) $$ is valid with some $C(T) > 0$.

研究の動機と目的

• 非線形拡散およびテンソル値感受性を有する3次元キモタクシス＝ストークス系に対する弱解のグローバル存在および局所的有界性を確立すること。
• 回転フラックスおよびテンソル値感受性を有する系において、自然な勾配類似構造が欠如している問題に対処すること。
• スカラ感受性および流体なしのケースに関する先行研究を、より複雑で生物学的に現実的な行列値感受性のケースに拡張すること。
• 標準的なリャプノフ関数が存在しない状況下でも、系の散逸的性質を捉える新しい関数的構造を開発すること。

提案手法

• 系の勾配類似散逸を捉えるために、新しい関数的 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ を導入すること。
• 非線形拡散の退化を扱い、爆発を回避するために $\varepsilon$-摂動を伴う正則化近似系を用いること。
• 高温半群の $L^p$-$L^q$ 評価を用いて、$c$ および $u$ の高階ノルムを制御すること。
• モーザー反復法およびアウビン＝ライオンズのコンパクト性補題を用いて、$n_\varepsilon$ 及びそのべきの強収束を導出すること。
• $\varepsilon$ に依存しない形で $\|n_\varepsilon\|_{L^\infty}$、$\|c_\varepsilon\|_{W^{1,\infty}}$、$\|u_\varepsilon\|_{L^\infty}$ の一様有界性を確立すること。
• 弱*収束および強収束を用いて $\varepsilon \to 0$ の極限に移行し、グローバル弱解を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形拡散（$m > 9/8$）およびテンソル値感受性を有する3次元キモタクシス＝ストークス系に対して、グローバル有界解を確立できるか？
• RQ2 キモタクシス項に回転フラックスが存在する場合、有界解の存在が妨げられるか。もし妨げられるならば、それを克服できるか？
• RQ3 標準的なリャプノフ関数が欠如するテンソル感受性の場合でも、系を制御できる新たな勾配類似構造を構築できるか？
• RQ4 $n$、$c$、$u$ の有界性は拡散指数 $m$ にどのように依存するか？
• RQ5 スカラ感受性または流体なしの系に関する先行研究は、どの程度拡張可能か？

主な発見

• $m > 9/8$ のとき、テンソル値感受性を有するキモタクシス＝ストークス系の初期境界値問題は、グローバルに定義された弱解を有する。
• すべての $t \in (0,T)$ およびある $C(T) > 0$ に対して、$\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} + \|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} + \|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C$ を満たし、局所的 $L^\infty$ 有界性が保証される。
• 新しい関数的 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ は、標準的なリャプノフ関数が存在しない状況下でも、エネルギー型推移を可能にする勾配類似構造を有する。
• 結果は、定数感受性 $S = C_S$ のときのタオとウィンクリーの研究を拡張しており、$m=1$ および $S=C_S$ のとき、 Zheng とワンの流体なしの結果とも整合する。
• 証明は、モーザー反復法、アウビン＝ライオンズの補題、および $L^p$-$L^q$ 評価の新規な組み合わせに依存し、$n_\varepsilon$ の強収束および一様有界性を達成する。
• $\varepsilon \in (0,1)$ のすべてに対して $n_\varepsilon$、$c_\varepsilon$、$u_\varepsilon$ の $L^\infty$ 有界性が一様に制御可能であり、グローバル弱解への極限移行が可能となる。