[論文レビュー] A new asymptotic enumeration technique: the Lovasz Local Lemma

Linyuan Lü, Łászló A. Székely|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、完全グラフにおけるマッチングや所定のサイクル長のないグラフの漸近的数え上げに、歪みのあるLovelászの局所的補題を新しく応用する。この手法により、下界と一致するタイトな漸近的境界を確立し、置換やラテン長方形の数え上げ、正則グラフの数え上げ、さらには次数列とサイクル長に基づくグラフの数え上げに関する新しい結果を得るとともに、弱い次数列条件の下で高サイクル長・高彩色数を持つグラフの存在定理についても、新たな確率的証明を提供する。

ABSTRACT

Our previous paper applied a lopsided version of the Lovász Local Lemma that allows negative dependency graphs to the space of random injections from an $m$-element set to an $n$-element set. Equivalently, the same story can be told about the space of random matchings in $K_{n,m}$. Now we show how the cited version of the Lovász Local Lemma applies to the space of random matchings in $K_{2n}$. We also prove tight upper bounds that asymptotically match the lower bound given by the Lovász Local Lemma. As a consequence, we give new proofs to results on the enumeration of $d$-regular graphs. The tight upper bounds can be modified to the space of matchings in $K_{n,m}$, where they yield as application asymptotic formulas for permutation and Latin rectangle enumeration problems. The strength of the method is shown by a new result: enumeration of graphs by degree sequence or bipartite degree sequence and girth. As another application, we provide a new proof to the classical probabilistic result of Erd\H os that showed the existence of graphs with arbitrary large girth and chromatic number. If the degree sequence satisfies some mild conditions, almost all graphs with this degree sequence and prescribed girth have high chromatic number.

研究の動機と目的

• 完全グラフ $K_{2n}$ におけるランダムな完全マッチングの空間へ歪みのあるLovelászの局所的補題を拡張し、新たな漸近的数え上げ技法を可能にする。
• ランダムマッチングの文脈において、負の依存グラフを構築するフレームワークを構築し、従来の手法の制限を克服する。
• Lovelászの局所的補題からの下界と漸近的に一致するタイトな上界を導出することで、数え上げ結果の精度を保証する。
• このフレームワークを、次数列とサイクル長に基づくグラフおよび二部グラフの数え上げといった新規問題に応用する。また、高サイクル長・高彩色数を持つグラフに関する古典的結果を再証明する。

提案手法

• 完全グラフ $K_{2n}$ における部分マッチングを完全マッチングに拡張するイベントに対して、負の依存グラフを構築する。ここで、2つの部分マッチングの和集合がもはやマッチングでなくなる場合に辺を張る。
• 適切に選ばれた $x_i$ の集合を用いて歪みのあるLovelászの局所的補題を適用し、すべての悪イベントが同時に発生しない確率の下界を導出する。
• ポisson近似と条件付き確率の推定を用いて、与えられた次数列を持つランダムグラフが短いサイクルを持たない確率を評価する。
• 構成モデルと指数型母関数を用いて、所定の次数列とサイクル長 $g$ 以上のグラフの数の漸近公式を導出する。
• 一般の次数列への一般化の前に、まず正則グラフにこのフレームワークを適用し、解析を簡素化する。
• Erdösの高サイクル長・高彩色数を持つグラフの存在定理を再考し、次数列にやや弱い条件が満たされる場合、サイクル長 $g \geq 3$ のほとんどすべてのグラフが $k$-彩色不能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪みのあるLovelászの局所的補題は、完全グラフ $K_{2n}$ におけるランダムな完全マッチングの空間に、タイトな漸近的数え上げ結果をもたらすために効果的に適用可能か？
• RQ2 与えられた次数列とサイクル長 $g$ を持つグラフの数に対するタイトな上界は何か？ また、それらはLovelászの局所的補題からの下界とどのように一致するか？
• RQ3 このフレームワークを用いて、置換やラテン長方形の数え上げに関する既知の結果を再証明または強化できるか？
• RQ4 次数列にどのような条件下で、その次数列とサイクル長 $g$ を持つほとんどすべてのグラフが高彩色数を持つようになるか？
• RQ5 この手法を用いて、より一般な設定下でErdösの高サイクル長・高彩色数を持つグラフの存在定理を証明できるか？

主な発見

• 次数列とサイクル長 $g \geq 4$ 以上の二部グラフの数は、漸近的に $ (1+o(1)) \frac{N!}{\prod_i d_i! \delta_i!} \exp\Bigl(-\sum_{i=1}^{(g-2)/2} \frac{(\bar{D})^i (\bar{\Delta})^i}{2i (\bar{d})^{2i}}\Bigl) $ に漸近的に一致する。ここで $N$ は辺の数である。
• 集合 $\mathcal{C} \subseteq \{4,6,\dots,g-2\}$ に属する長さのサイクルを持たないグラフの数は、漸近的に $ (1+o(1)) \frac{N!}{\prod_i d_i! \delta_i!} \exp\Bigl(-\frac{\bar{D} \bar{\Delta}}{2(\bar{d})^2} - \sum_{i \in \mathcal{C}} \frac{(\bar{D})^i (\bar{\Delta})^i}{2i (\bar{d})^{2i}}\Bigl) $ に漸近的に一致する。
• $\bar{d} \geq 3$ かつ $k^2 < (1 - \epsilon) \frac{\bar{d}}{2 \log 2}$ ならば、与えられた次数列とサイクル長 $g \geq 3$ を持つほとんどすべてのグラフは $k$-彩色不能である。
• この手法により、任意に大きなサイクル長と彩色数を持つグラフの存在定理について、弱い次数列条件の下で新たな証明が得られる。
• このフレームワークは、置換、ラテン長方形、正則グラフといった複数の古典的数え上げ問題について、素朴で統一的な証明を提供する。
• 導出された上界は漸近的にタイトであり、Lovelászの局所的補題からの下界と一致しており、この手法の精度が裏付けられる。