[論文レビュー] A New Automorphism Of X0(108)

Michael Harrison|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ケンクーとモモセによる $X_0(108)$ の自己同型群の解析における誤りを是正し、上半平面への行列作用によって誘導される自己同型群 $B_0(108)$ が、全自己同型群 $A_0(108)$ において指数 2 であることを証明する。著者らは、モジュラー形式とグレブナー基底計算を用いて、$X_0(108)$ の標準的モデル上に明示的な位数 2 の新しい自己同型を構成し、それが $
52{\mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})}$ 上で定義可能だが、$
52{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}$ 上では定義不可能であることを示し、$X_0(N)$ の例外的ケースの分類における長年の欠落を解消する。

ABSTRACT

Let X0(N) denote the modular curve classifying elliptic curves with a cyclic N-isogeny, A0(N) its group of algebraic autmorphisms and B0(N) the subgroup of automorphisms coming from matrices acting on the upper halfplane. In a well-known paper, Kenku and Momose showed that A0(N) and B0(N) are equal (all automorphisms come from matrix action) when X0(N) has genus at least 2, except for N = 37 and 63. However, there is a mistake in their analysis of the N = 108 case. In the style of Kenku and Momose, we show that B0(108) is of index 2 in A0(108) and construct an explicit new automorphism of order 2 on a canonical model of X0(108).

研究の動機と目的

• ケンクーとモモセによる $X_0(108)$ の解析における欠陥を是正すること。彼らは誤って $A_0(108) = B_0(108)$ と結論づけた。
• $B_0(108)$ が $A_0(108)$ において指数 2 であることを確立し、$A_0(N) \neq B_0(N)$ であるような例外的 $N$ の分類において $N=108$ のケースを解決すること。
• 上半平面への行列作用によって誘導されない、明示的かつ数学的に透明な位数 2 の自己同型を $X_0(108)$ 上に構成すること。
• 新しい自己同型の定義体を検証し、$k(108) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の外にあることを確認すること。これは非自明な自己同型が期待されるものである。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上での Magma 計算を用い、$\mathbb{F}_{31}$ 上で $X_0(108)$ が 216 個の自己同型を持つことを観察。これは $B_0(108)$ のサイズの 2 倍であり、$A_0(108)$ において指数 2 であることを示唆する。
• ケンクーとモモセによる $N=108$ の議論を再分析し、$j$-不変量 0 の複素乗法を持つ楕円曲線因子 $E$ に対して、非自明な自己同型 $\gamma$ が $\pm 1$ に作用すると仮定したが、実際には 3 乗根に作用する可能性があることを見出す。
• 正則微分形式の空間への作用を特定するため、2 つの未定義パラメータ $a$ と $b$ を含む行列を用いて、位数 2 の候補自己同型 $u$ を構成する。
• $\mathbb{P}^9$ 内の 28 個の二次関係によって定義される $X_0(108)$ の標準的モデルを用い、$u$ の行列作用を関係式に代入することで、$a$ と $b$ に関するゼロ次元イデアルを導出する。
• Magma におけるグレブナー基底アルゴリズムを適用し、$b = z a^2$ および $a^3 = -1/2$ を得る。ここで $z = \sqrt{-3}$、$c^3 = 2$ である。これにより明示的な自己同型の式が得られる。
• 構成された自己同型 $u$ が $X_0(108)$ 上で固定点をちょうど 2 つ持ち、微分形式に $-M$ の作用をし（$M$ は固有値 $\pm 1$ をそれぞれ重複度 6 と 4 で持つ）、尖点を非尖点に写すことを確認し、$B_0(108)$ に属さないことを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体計算が示唆するように、ケンクーとモモセの主張とは対照的に、$B_0(108)$ は $A_0(108)$ において指数 2 であるか？
• RQ2 上半平面への行列作用によって誘導されない、$X_0(108)$ 上に明示的な位数 2 の自己同型を構成できるか？
• RQ3 ケンクーとモモセの議論が $N=108$ で失敗した理由は何か。特に、$j$-不変量 0 の複素乗法を持つ楕円曲線因子上の自己同型の作用に関しては？
• RQ4 新しい自己同型の定義体は何か。また、$k(108) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の外にあるか？
• RQ5 新しい自己同型は $X_0(108)$ の標準的モデルを保存し、尖点集合に非自明に作用するか？

主な発見

• 群 $B_0(108)$ は $A_0(108)$ において指数 2 である。これはケンクーとモモセによる $N=108$ の解析における誤りを是正する。
• 明示的な位数 2 の自己同型 $u$ が $X_0(108)$ の標準的モデル上に構成され、$
  52{\mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})}$ 上で定義可能だが、$
  52{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}$ 上では定義不可能である。
• 自己同型 $u$ は $X_0(108)$ の微分形式に $-M$ の作用をし、ここで $M$ は固有値 $\pm 1$ をそれぞれ重複度 6 と 4 で持つ行列である。
• 商曲線 $Y = X_0(108)/\langle u \rangle$ の genus は 4 であり、Hurwitz の公式と $u$ が正確に 2 つの固定点を持つという事実と整合的である。
• 自己同型 $u$ は尖点の集合を互いに素な点の集合に写し、Corollary 2.4 of Kenku and Momose (1985) が要求するように、$B_0(108)$ に属さないことが確認された。
• $X_0(108)$ の標準的モデルは $\mathbb{P}^9$ 内の 28 個の二次関係によって定義され、新しい自己同型は座標 $x_1, \dots, x_{10}$ におけるその作用によって明示的に与えられる。