[論文レビュー] A new benchmark set for Traveling salesman problem and Hamiltonian cycle problem

Pouya Baniasadi, Vladimir Ejov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、困難なHCP例から導出された構造的に複雑な小規模インスタンスに基づき、TSP（巡回セールスマン問題）およびHCP（ハミルトン閉路問題）のための新しいベンチマークセットを提示する。特に、最新のTSPソルバーが困難に直面する外れ値インスタンスに焦点を当て、高い対称性と少ないハミルトン閉路数を特徴とするものである。これにより、アルゴリズムの弱みが明らかになり、Concorde、LKH、SLHはそれぞれ異なる方法で困難に直面することが示された。LKHは速度面で優れているが、スパarsな閉路構造では失敗する。

ABSTRACT

We present a benchmark set for Traveling salesman problem (TSP) with characteristics that are different from the existing benchmark sets. In particular, we focus on small instances which prove to be challenging for one or more state-of-the-art TSP algorithms. These instances are based on difficult instances of Hamiltonian cycle problem (HCP). This includes instances from literature, specially modified randomly generated instances, and instances arising from the conversion of other difficult problems to HCP. We demonstrate that such benchmark instances are helpful in understanding the weaknesses and strengths of algorithms. In particular, we conduct a benchmarking exercise for this new benchmark set totalling over five years of CPU time, comparing the TSP algorithms Concorde, Chained Lin-Kernighan, and LKH. We also include the HCP heuristic SLH in the benchmarking exercise. A discussion about the benefits of specifically considering outlying instances, and in particular instances which are unusually difficult relative to size, is also included.

研究の動機と目的

• TSPおよびHCPの意味のあるベンチマークセットの不足、特に一般的なパフォーマンスを超えるアルゴリズム的弱みを引き立てるものがないことに対処する。
• 最新のソルバーにとって困難である、特にアルゴリズム的難易度において外れ値を示す小規模で構造的に難しいインスタンスを特定・収集する。
• TSPおよびHCPの代表的アルゴリズム—Concorde、チェーンド・リン・カーニハン（Chained Lin-Kernighan）、LKH、SLH—のこれらの困難なインスタンスにおけるパフォーマンスを評価し、相対的な強み・弱みを明らかにする。
• 困難なHCPインスタンスがTSPに変換された場合、標準ベンチマーク（例：TSPLIB）では捉えきれない、既存のTSPソルバーを新規にストレステストする方法を示す。

提案手法

• ベンチマークセットは3つのソースから構成される：既存の困難なHCPインスタンス（文献より）、特別に変更されたランダムに生成されたHCPインスタンス、および他の困難な組合せ問題のHCP変換。
• HCP構造に基づく辺の重みを割り当てることで、インスタンスをTSP形式に変換し、元の難易度を保持する。
• 24種類の異なるインスタンスタイプを対象とし、合計5年以上のCPU時間を要する包括的なベンチマークキャンペーンを実施。評価対象アルゴリズムは4つ：Concorde（正確解法）、チェーンド・リン・カーニハン、LKH（ヒューリスティック）、SLH（HCP専用ヒューリスティック）。
• パフォーマンスは解の品質、実行時間、成功確率（24時間以内または4GBメモリ制限内に最適解を発見）で測定され、失敗の種別も明確に記録された。
• 対称性の高さやハミルトン閉路数の少なさといった構造的特徴が、アルゴリズム的難易度と相関するかを特定することに焦点を当てる。
• アルゴリズムごとの失敗パターンの統計的および定性的分析を通じて、アルゴリズムの限界と構造的難易度要因を推論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模なTSPおよびHCPインスタンスに見られるどのような構造的特徴が、最新のソルバーの失敗や性能劣化を引き起こすか？
• RQ2 Concorde、LKH、チェーンド・リン・カーニハン、SLHのパフォーマンス特性は、標準ベンチマークにない困難な外れ値インスタンスにおいてどのように異なるか？
• RQ3 高い対称性と少ないハミルトン閉路数は、TSPおよびHCPにおけるアルゴリズム的難易度にどの程度寄与するか？
• RQ4 HCPインスタンスは、効果的に挑戦的なTSPベンチマークとして再利用可能か？ もしそうなら、どのようなアルゴリズム的弱みが露呈されるか？
• RQ5 HCPから導出された小規模で困難なインスタンスを研究することで、TSP難易度の本質についてどのような知見が得られるか？

主な発見

• ExactアルゴリズムとしてのConcordeは、全体として最も頑健であったが、非常に高い対称性を持つインスタンスでは24時間以内に終了しなかったケースがあり、実装上のバグの可能性がある。
• LKHは、全テストインスタンスでチェーンド・リン・カーニハンを上回り、著しく高速かつ効果的であったが、ハミルトン閉路数が少ない場合には苦戦した。
• チェーンド・リン・カーニハンは、閉路数が少ないインスタンスで著しく劣悪なパフォーマンスを示し、リン・カーニハンに基づくヒューリスティックが解空間の構造的スパarsityに敏感であることが示された。
• SLHは、複雑なグラフでさえもハミルトン閉路を効果的に発見するのに非常に信頼性が高かったが、大規模インスタンスでは過剰なメモリを要し、Concorde や LKH よりも遅かった。
• 最も困難なインスタンスは、高い対称性と少ないハミルトン閉路数を併せ持つもので、複数のアルゴリズム、特にLKHとCLKを常に困難に陥れた。
• II_3972 や II_7932 といったインスタンスは、それぞれ56,000秒以上、4GBメモリを超える必要があり、現代のソルバーですら極めて困難であることが示された。