[論文レビュー] A New Bijection Between Forests and Parking Functions

Heesung Shin|ArXiv.org|Oct 2, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、根付きフォレストとパーキング関数の間の非再帰的双対写像を提示し、同時に3つの主要統計量である逆転数、リーダー数、木の数を保存する。この構成により、GesselとSeoのパーキング関数におけるラッキー統計量の公式に対する双対的証明が得られ、Stanleyが2007年に提起した非再帰的対応に関する長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

In 1980, G. Kreweras gave a recursive bijection between forests and parking functions. In this paper we construct a nonrecursive bijection from forests onto parking functions, which answers a question raised by R. Stanley. As a by-product, we obtain a bijective proof of Gessel and Seo's formula for lucky statistic on parking functions.

研究の動機と目的

• 2007年にStanleyが提起した問題に応えるために、根付きフォレストとパーキング関数の間の非再帰的双対写像を構成すること。
• パーキング関数におけるラッキー統計量の生成関数の公式に対する双対的証明を提供すること。
• フォレストにおける逆転数、リーダー数、木の数という3つの組合せ統計量と、パーキング関数におけるジャンプ数、ラッキー値、臨界車両数という対応統計量の同時対応を確立すること。
• 構成的かつ双対的な写像を通じて、両側におけるこれらの統計量の生成関数が同一であることを示すこと。

提案手法

• 各フォレスト F の各頂点 v を、パーキング関数 φ(F) の車 c に写像する頂点-車対応 θF を定義し、inv(F:v) = jump(φ(F):c) を満たす。
• 一意的な表現を保証するためのフォレストの標準的描画ルールを用いる：根を上部に配置し、最大ラベルで木を順序付け、兄弟は子孫の最大ラベルで順序付ける。
• フォレスト構造から導かれる列にパーキングアルゴリズムを適用して、φ(F) を生成し、双対写像が非再帰的であることを保証する。
• F におけるリーダー数が φ(F) におけるラッキー車両数に等しく、F における木の数が φ(F) における臨界車両数に等しいことを確立する。
• 逆転数、木の数、およびパーキング関数におけるそれらの対応統計量の多変数生成関数 In(q;c) と Jn(q;c) を定義し、双対写像による等価性を証明する。
• 逆写像を用いて、逆パーキング列における右から最大値がフォレストにおける根に正確に対応することを確認し、臨界統計量の対応を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根付きフォレストとパーキング関数の間で、逆転統計量を保存する非再帰的双対写像を構成できるか？
• RQ2 パーキング関数におけるGesselとSeoのラッキー統計量の公式に対する双対的証明は存在するか？
• RQ3 フォレストにおけるリーダー統計量とパーキング関数におけるラッキー統計量は、単一の双対写像のもとで同時に対応するか？
• RQ4 フォレストにおける逆転数と木の数の生成関数を、パーキング関数におけるジャンプ数と臨界車両数の生成関数と双対的に一致させられるか？

主な発見

• サイズ n の根付きフォレストとパーキング関数の間で、非再帰的双対写像 φ: Fn → PFn が構成された。
• 双対写像は、inv(F) = n+1 choose 2 から φ(F) の要素の和を引いたものに等しく、lead(F) = lucky(φ(F)) を満たす。
• フォレスト F における木の数は、対応するパーキング関数 φ(F) における臨界車両数に等しい。
• 逆転数、木の数、およびそれらの対応統計量の多変数生成関数 In(q;c) と Jn(q;c) が双対写像によって等価であることが証明された。
• 生成関数 ∑P∈PFn u^lucky(P) c^critical(P) が cu ∏i=1^{n-1} (i + (n-i)u + cu) に等しいことが双対的証明により示された。
• 対応 θF は、F の各頂点 v を φ(F) の車 c に写像し、inv(F:v) = jump(φ(F):c) を満たすため、詳細な頂点-車両対応が確立された。