[論文レビュー] A New Bound for the Brown--Erd\H{o}s--S\'os Problem.

David Conlon, Lior Gishboliner+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は極値組合せ論におけるBrown–Erd\'os–S\'os問題について、3-一様超グラフにおいて、$e$ 条の辺を含まないが、それらの辺が高々 $e + \lceil 26\log e / \log\log e\rceil$ 個の頂点上に存在するような辺の数は $o(n^2)$ である、という新たな漸近的上限を確立している。この結果は、長年のS\'ark\H{o}zy–Selkowの上限を改善し、$\lfloor\log_2 e\rfloor$ の誤差項を対数より小さい項に置き換えるものであり、超グラフ除去補題の洗練された応用によって達成されている。

ABSTRACT

Let $f(n,v,e)$ denote the maximum number of edges in a $3$-uniform hypergraph not containing $e$ edges spanned by at most $v$ vertices. One of the most influential open problems in extremal combinatorics then asks, for a given number of edges $e \\geq 3$, what is the smallest integer $d=d(e)$ so that $f(n,e+d,e) = o(n^2)$? This question has its origins in work of Brown, Erd\\H{o}s and S\\'os from the early 70's and the standard conjecture is that $d(e)=3$ for every $e \\geq 3$. The state of the art result regarding this problem was obtained in 2004 by S\\'{a}rk\\"{o}zy and Selkow, who showed that $f(n,e + 2 + \\lfloor \\log_2 e \ floor,e) = o(n^2)$. The only improvement over this result was a recent breakthrough of Solymosi and Solymosi, who improved the bound for $d(10)$ from 5 to 4. We obtain the first asymptotic improvement over the S\\'{a}rk\\"{o}zy--Selkow bound, showing that $$ f(n, e + O(\\log e/ \\log\\log e), e) = o(n^2). $$

研究の動機と目的

• Brown–Erd\'os–S\'os予想を解くこと、すなわち $f_3(n,e+d,e) = o(n^2)$ となる最小の $d(e)$ を特定すること。
• 従来の改善を制限する自然な障壁を乗り越えること、特にS\'ark\H{o}zy–Selkowの上限における $\lfloor\log_2 e\rfloor$ 項を克服すること。
• 2004年のS\'ark\H{o}zy–Selkowの結果に対する、$f_3(n,e+d,e)$ 問題における初めての一般的な漸近的改善を提供すること。
• 一般化されたラマヌジャン型問題、例えば辺彩色とルビーレインボーハイパーグラフを含む問題に、改善を拡張すること。

提案手法

• 任意の $r$ に対して $r$-一様超グラフ除去補題を適用することで、従来の手法の主要な制限を回避すること。
• 階乗の漸近的推定を用いて、誤差項の定数を26から $6+o(1)$ に洗練させること。
• 独創的な還元論法により、一般化されたBrown–Erd\'os–S\'os予想を $r=3$, $k=2$ の場合に還元すること。
• 完全グラフの辺彩色から4-一様超グラフを構成することで、問題を $f_4(n,p,e)$ 関数に関連付けること。
• 着色に基づく還元によって、一般化されたラマヌジャン問題とBrown–Erd\'os–S\'os問題との間に接続を確立すること。
• $f_4(n,p,e) = o(n^2)$ が $g(n,p,q) = \binom{n}{2} - o(n^2)$ を意味することを証明することで、境界の転送を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小の $d(e)$ は何か、すなわち $f_3(n,e+d,e) = o(n^2)$ を満たし、さらに漸近的に改善可能か？
• RQ2 S\'ark\H{o}zy–Selkowの上限における $\lfloor\log_2 e\rfloor$ 誤差項を対数より小さい関数に低下させることは可能か？
• RQ3 一般に適用された超グラフ除去補題により、Brown–Erd\'os–S\'os問題において飛躍的進展が達成可能か？
• RQ4 $f_3(n,e+d,e)$ 問題における改善は、関連するラマヌジャン型問題へどの程度転送可能か？
• RQ5 一般化されたBrown–Erd\'os–S\'os予想は、元の $r=3$, $k=2$ の場合と同値であり、近似結果も同様に転送可能か？

主な発見

• 本稿は、$f_3(n,e + \lceil 26\log e / \log\log e\rceil, e) = o(n^2)$ を確立し、S\'ark\H{o}zy–Selkowの上限に対する初めての一般的改善を示している。
• 漸近的推定の洗練により、乗数定数26を $6 + o(1)$ に改善し、$f_3(n,e + (6+o(1))\log e / \log\log e, e) = o(n^2)$ を得た。
• この結果は、ある絶対定数 $C$ に対して $q \geq q_{\text{quad}}(p) + C\log p / \log\log p$ ならば $g(n,p,q) = \binom{n}{2} - o(n^2)$ を意味し、S\'ark\H{o}zyとSelkowの境界を改善する。
• 証明により、一般化されたBrown–Erd\'os–S\'os予想は、元の $r=3$, $k=2$ の場合と同値であり、近似境界が両形式間で転送可能であることが示された。
• 一般化されたラマヌジャン問題からBrown–Erd\'os–S\'os問題への還元が形式化され、$f_4(n,p,e) = o(n^2)$ が $g(n,p,q) = \binom{n}{2} - o(n^2)$ を意味することを示した。
• 本稿は、任意の $r$ に対して $r$-グラフ除去補題を用いることで、従来の手法の自然な障壁を乗り越え、対数より小さい誤差項を達成した。