[論文レビュー] A new bound for the capacity of the deletion channel with high deletion probabilities

Marco Dalai|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Wireless Communication Security Techniques参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、d→1 のときの二値削除チャネル容量 C(d) を (1−d) で正規化した極限が存在し、(0,1) 内の d について C(d)/(1−d) の下界に等しいことを確立する。既知の C(d) の境界を用いることで、この結果により lim_{d→1} C(d)/(1−d) ≤ 0.4143 というより良い上界が得られ、C(d) が [0,1] 上で凸である可能性を支持する。

ABSTRACT

Let $C(d)$ be the capacity of the binary deletion channel with deletion probability $d$. It was proved by Drinea and Mitzenmacher that, for all $d$, $C(d)/(1-d)\geq 0.1185 $. Fertonani and Duman recently showed that $\limsup_{d o 1}C(d)/(1-d)\leq 0.49$. In this paper, it is proved that $\lim_{d o 1}C(d)/(1-d)$ exists and is equal to $\inf_{d}C(d)/(1-d)$. This result suggests the conjecture that the curve $C(d)$ my be convex in the interval $d\in [0,1]$. Furthermore, using currently known bounds for $C(d)$, it leads to the upper bound $\lim_{d o 1}C(d)/(1-d)\leq 0.4143$.

研究の動機と目的

• lim_{d→1} C(d)/(1−d) の極限が存在するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 高頻度の削除確率における二値削除チャネルの漸近的容量に対するより良い上界を得ること。
• d=1 の近傍での振る舞いに基づいて、C(d) が [0,1] 上で凸である可能性を調査すること。
• 有限ブロック長容量 C_n(d) に関する既知の境界を活用し、高頻度削除容量の極限に対するより緊密な境界を導出すること。

提案手法

• n ビット入力から一様にランダムに選ばれた k ビット部分列を出力するチャネルモデル W_{n,k} を用いて、削除チャネル W^d を近似する。
• 定理 1 を適用して、n が十分に大きいとき C_n(d) が C(1−k/n) を近似することを示し、有限ブロック長容量と漸近的容量を結びつける。
• Fertonani と Duman (2012) の補題 8 に依存し、任意の n,k に対して limsup_{d→1} C(d)/(1−d) ≤ (nC_{n,k}+1)/(k+1) が成り立つことを用いる。
• 補題 8 の limsup 上界が d'→1 のとき C(d')/(1−d') に収束することを示すことにより、定理 2 を証明する。これにより、極限が存在し、C(d)/(1−d) の下界に等しいことが示される。
• 先行研究による C_{17}(0.65)=0.145 の数値評価を用いて、補系 1 を介して改善された上界 0.4143 を計算する。
• C_n(d)/(1−d) が d→1 のとき 1 に近づくことを分析し、有限 n に対しては非凸であることを示すが、これは C(d) の漸近的凸性を妨げない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二値削除チャネルについて、lim_{d→1} C(d)/(1−d) の極限が存在するか。
• RQ2 既知の有限ブロック長容量境界を用いて、lim_{d→1} C(d)/(1−d) のより緊密な上界を導出できるか。
• RQ3 容量関数 C(d) は区間 [0,1] 上で凸であるか、特に d=1 の近傍でそうか。
• RQ4 有限ブロック長容量 C_n(d) が d=1 の近傍でどのように振る舞うか、漸近的容量 C(d) と比較するとどうなるか。

主な発見

• lim_{d→1} C(d)/(1−d) の極限が存在し、(0,1) 内の d についての C(d)/(1−d) の下界に等しいことが示され、この極限の存在に関する未解決問題が解決された。
• 既知の境界 C_{17}(0.65) = 0.145 を用いることで、lim_{d→1} C(d)/(1−d) ≤ 0.4143 という改善された上界が確立された。
• この結果は、C(d) が [0,1] 上で凸である可能性を示唆しており、極限が下界に等しいことは、d=1 の近傍で凸性が成り立つための必要条件である。
• 有限 n に対しては、C_n(d)/(1−d) → 1 (d→1 のとき) であるため、C_n(d) は d=1 の近傍で非凸であるが、これは C(d) の極限関数が凸である可能性を妨げない。
• 極限の存在により、中程度の d（例：d=0.65）における C(d) の境界を用いて、高頻度削除容量の極限に対する明示的な境界を導出できるようになった。
• 本稿では、n を大きくし d≈0.65 の周辺で C_n(d) を数値的に評価することで、lim_{d→1} C(d)/(1−d) の上界をさらに改善するためのフレームワークを提供しているが、計算コストは高い。