[論文レビュー] A new class of examples of group-valued moment maps

Alimjon Eshmatov|ArXiv.org|Oct 20, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、普遍的圧縮空間 $D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ 内の特定の層が、クaternion的射影空間 $\mathbf{HP}^n$ に微分同相である滑らかな閉包を持つことを利用して、新しいクラスの準ハミルトニアン多様体を構成する。準シンプレクティック圧縮と明示的なモーメント写像の構成を用いて、$\mathbf{HP}^n$ 上に $\mathbf{Sp}(n) \times T$-等変な滑らかなモーメント写像と閉かつ非退化な2形式を定義し、非有効な群作用を伴う多重度自由な準ハミルトニアン空間としての構造を確立する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to construct new examples of group-valued moment maps. As the main tool for construction of such examples we use quasi-symplectic implosion which was introduced in [HJS06]. More precisely we show that there are certain strata of $D{\bf Sp}(n)_{ m impl}$, the universal imploded space, where it is singular but whose closure is a smooth quasi-Hamiltonian ${\bf Sp}(n) imes T$ space.

研究の動機と目的

• 非アーベルリー群の群値モーメント写像の新例を、古典的な $\mathbf{SU}(n)$ の場合を越えて構成すること。
• $D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ 内の特異的層の滑らかな閉包を同定することによって、準ハミルトニアン多様体の理論を拡張すること。
• 圧縮空間 $D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ 内の特定の層の閉包が $\mathbf{HP}^n$ に微分同相であり、自然な準ハミルトニアン構造を有することを示すこと。
• 非有効な $\mathbf{Sp}(n) \times T$-作用を伴う多重度自由な準ハミルトニアン空間の新しいクラスを提供すること。
• 圧縮技術を用いて、$\mathbf{SU}(n)$ からの準ハミルトニアン構造の構成を $\mathbf{Sp}(n)$ へ一般化すること。

提案手法

• 文献[HJS06]における準シンプレクティック圧縮構成を用い、特異性を示すが滑らかな閉包を持つ層に注目して、$D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ の構造を分析する。
• 著者らは、その閉包が $\mathbf{HP}^n$ に微分同相であることを示すために、明示的な座標パrametrizationを用いて、$D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ 内の特定の層 $X_{01}$ を同定する。
• $Z_p$ の同次座標 $[Z_1, \dots, Z_{n+1}]$ と対角行列 $B = \mathrm{diag}(\exp(\lambda\pi i), 1, \dots, 1)$ を含む行列式表現を用いて、$\mathbf{HP}^n \to \mathbf{Sp}(n) \times T$ への滑らかな $\mathbf{Sp}(n) \times T$-等変モーメント写像 $\Phi$ を構成する。
• 圧縮空間からの引き戻しにより、$\mathbf{HP}^n$ 上の閉かつ非退化な2形式 $\omega$ を導出する。この形式は、$dx_{ij}$ 項と $\lambda$ の三角関数関数を含む局所座標における非同次化表現を伴う。
• $t = \exp(\pi i \lambda)$ における漸近展開を用いて、臨界部分集合 $Z_1 = 0$ および $[1,0,\dots,0]$ 近傍での振る舞いを分析することで、2形式およびモーメント写像の滑らかさを厳密に証明する。
• 最終的な構造が、準ハミルトニアン $\mathbf{Sp}(n) \times T$-多様体の公理を満たすことを確認する。特に、モーメント写像条件 $d\omega = -\Phi^*\chi$ と $\omega$ の核条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮された層を介した滑らかな準ハミルトニアン多様体の構成を、$\mathbf{SU}(n)$ から $\mathbf{Sp}(n)$ へ拡張可能か？
• RQ2 $D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ 内の特異的層の閉包は、滑らかな準ハミルトニアン構造を有するか？
• RQ3 クaternion的射影空間 $\mathbf{HP}^n$ は、非有効作用を伴う準ハミルトニアン $\mathbf{Sp}(n) \times T$-多様体として実現可能か？
• RQ4 このような多様体上でのモーメント写像およびシンプレクティック形式の明示的形は何か？
• RQ5 座標に基づく解析を用いて、$\mathbf{HP}^n$ 上の2形式が特異的集合を越えて滑らかに拡張可能かを示せるか？

主な発見

• $D\mathbf{Sp}(n)_{\rm impl}$ 内の層 $X_{01}$ の閉包は、特異的層を圧縮によって解消した滑らかな多様体であり、$\mathbf{HP}^n$ に微分同相である。
• $Z_p$ の座標と対角行列 $B$ を含む行列式表現を用いて、明示的に構成された滑らかな $\mathbf{Sp}(n) \times T$-等変モーメント写像 $\Phi: \mathbf{HP}^n \to \mathbf{Sp}(n) \times T$ が存在する。
• $\mathbf{HP}^n$ 上への2形式 $\omega_0$ の引き戻しは、$\mathcal{F}^*\omega_{01} = 2\pi dx_{11}dx_{12} - 2\sin(2\pi\lambda)(t + t^{-1})dx_{13}dx_{14} + 4\sin(\pi\lambda)\sum_{p=3}^{n+1}(dx_{p1}dx_{p2} - dx_{p3}dx_{p4})$ で与えられ、$\mathbf{HP}^n$ 全体に滑らかに拡張可能である。
• 2形式は $\mathbf{HP}^n$ 上で閉かつ非退化であり、準ハミルトニアン条件 $d\omega = -\Phi^*\chi$ を満たすため、多様体構造が確認される。
• モーメント写像は $Z_1 = 0$ および $[1,0,\dots,0]$ においても、$t = \exp(\pi i \lambda)$ における漸近解析により、すべての点で滑らかであることが示された。
• 得られた空間は、非有効な群作用を伴う多重度自由な準ハミルトニアン $\mathbf{Sp}(n) \times T$-多様体であり、群値モーメント写像理論における新しいクラスの例を提供する。