[論文レビュー] A new class of mild and strong solutions of integro-differential equation of arbitrary order in Banach space

J. Vanterler da C. Sousa, D. F. Gomes+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間における任意の順序の分数階積分微分方程式に対して、ヒルファ分数階微分を用いて、弱解および強解の存在および一意性を確立する。$C_0$-半群理論、バナッハの不動点定理、およびグロウォールの不等式を組み合わせることで、一般な条件下での解の適切な定式化（well-posedness）を証明し、無限次元設定における分数階微分方程式の理論を前進させる。

ABSTRACT

The motivation that the field of differential equations provide to several researchers for the challenges that have been challenging them over the decades has contributed to the strengthening of the area within mathematics. In this sense, investigating important properties of solutions of differential equations, in particular fractional, has been object of study due to the exponential growth of the fractional calculus. In this paper, we investigate the existence and uniqueness of a new class of mild and strong solution of the fractional integro-differential equations in the Hilfer fractional derivative sense in Banach space, by means of the continuously $C_{0}$-semigroup, Banach fixed point theorem and Gronwall inequality.

研究の動機と目的

• 無限次元空間における分数階積分微分方程式を解くという長年の課題に取り組む。
• 古典的設定を超えて、バナッハ空間における任意の順序の分数階方程式へ、弱解および強解の理論を拡張する。
• リーマン＝リウヴィル微分およびカプト微分を一般化するヒルファ分数階微分を含む方程式の適切な定式化結果を確立する。
• 関数解析的ツールと不動点法を用いた統一的な枠組みを提供する。

提案手法

• 微分方程式に関連する時間発展作用素をモデル化するために、$C_0$-半群理論を用いる。
• 適切な関数空間内での解の存在および一意性を証明するために、バナッハの不動点定理を適用する。
• 初期データに対する解の安定性および連続的依存性を確立するために、グロウォールの不等式を用いる。
• ヒルファ分数階微分の文脈で問題を定式化し、異なる種類の分数階微分の連続的遷移を可能にする。
• 半群と非線形項を含む積分方程式を用いて、弱解を定義する。
• 点ごとのほとんど everywhere で方程式を満たし、適切な正則性クラスに属する関数として、強解を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間における任意の順序の分数階積分微分方程式に対して、弱解が存在し、かつ一意となる条件は何か？
• RQ2 ヒルファ分数階微分の文脈において、強解をどのように特徴づけ、その存在をどのように証明できるか？
• RQ3 $C_0$-半群は、このような方程式の適切な定式化を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 グロウォールの不等式と不動点の議論は、解の安定性および一意性にどのように寄与するか？
• RQ5 この枠組みは、整数または半整数順序を超える任意の順序の分数階微分を含むように拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、バナッハ空間における指定されたクラスの分数階積分微分方程式に対して、弱解の存在および一意性を証明する。
• 同じ一般的条件下で強解の存在を確立し、理論の適用範囲を拡張する。
• ヒルファ分数階微分の使用により、リーマン＝リウヴィル型およびカプト型を含むより広い方程式のクラスを分析可能となる。
• $C_0$-半群理論とバナッハの不動点定理の組み合わせにより、解の反復スキームの収束が保証される。
• グロウォールの不等式を用いて、初期データに対する解の連続的依存性を示し、安定性を確認する。
• 結果は一般的であり、任意の分数階順序に適用可能であり、今後の分数階進化方程式分野における理論的基盤を強化する。