[論文レビュー] A new class of Pseudo-Hermitian Hamiltonians with real spectra

Abouzeid M. Shalaby|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2008

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、速度に依存するポテンシャルを有する非エルミートハミルトニアンの新クラスを導入し、実数で下から有界なスペクトルを示すものであり、スペクトル安定性を保証する。スーパーチャージとスーパーパートナーを用いて代数的構造を確立し、このクラスに属する非PT対称ハミルトニアンは、正準変換によってそのスーパーパートナーに写像可能であることが示され、超対称性の破れを示唆する。これに対してPT対称ハミルトニアンは同様の写像に失敗し、PT対称性と超対称性の新たな相互作用を示している。

ABSTRACT

We introduce and study a class of non-Hermitian Hamiltonians which have velocity dependent potentials. Since stability can not be advocated directly from the classical potential, we show that the energy spectra are real and bounded from below which proves the stability of the spectra of all members in the class. We find that the introduced class of non-Hermitian Hamiltonians do have a corresponding superpartner class of non-Hermitian Hamiltonians. We were able to introduce supercharges which in conjunction with the corresponding super Hamiltonians constitute a closed super algebra. Among the introduced Hamiltonians, we show that non-$\mathcal{PT }$-symmetric Hamiltonians can be transformed into their corresponding superpartner Hamiltonians via a specific canonical transformation while the $\mathcal{PT }$-symmetric ones failed to be mapped to their corresponding superpartner Hamiltonians via the same canonical transformation. Since canonical transformations preserve the spectrum, we conclude that non-$\mathcal{PT }$-symmetric Hamiltonians out of the introduced class of Hamiltonians have the same spectrum as the corresponding superpartner Hamiltonians and thus Susy is broken for such Hamiltonians. This kind of intertwining of $\mathcal{PT }$-symmetry and Supersymmetry is new as all the so far discussed cases concentrate on Hamiltonians of broken $\mathcal{PT }% $-symmetry that have broken Supersymmetry too while we showed that Susy can be also broken for non-$\mathcal{PT }$-symmetric and non-Hermitian Hamiltonians .

研究の動機と目的

• 速度に依存するポテンシャルを有する非エルミートハミルトニアンの新クラスを特定・分析し、そのエネルギースペクトルが実数を保つ条件を同定すること。
• 非エルミート系における超対称性が保存されるか破れるかの条件を調査すること。
• 正準変換がハミルトニアンとそのスーパーパートナーを結ぶ役割を明らかにし、特にPT対称系と非PT対称系の差異を特定すること。
• 非エルミート量子系におけるPT対称性と超対称性の相互作用を明確にすること、特にPT対称性が超対称性の破れを示さない場合の状況を対象とする。

提案手法

• 著者らは、スペクトル解析を通じて、実数で下から有界なスペクトルを持つように設計された、速度に依存するポテンシャルを有する非エルミートハミルトニアンのクラスを構築した。
• スーパーチャージを定義し、ハミルトニアンと併せて非可換代数を形成することで、系に超対称的構造を確立した。
• 非PT対称ハミルトニアンをそのスーパーパートナーに写像する正準変換を適用し、スペクトルを保存した。
• 同様の正準変換は、PT対称ハミルトニアンに対してはそのスーパーパートナーに写像できないことが判明し、構造的差異を示した。
• エネルギースペクトルが下から有界であることを証明することで、スペクトル安定性を確認した。
• 同じ変換を用いてPT対称系と非PT対称系の挙動を比較し、超対称性の破れにおける対称性の役割を分離した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称性を欠く速度に依存するポテンシャルを有する非エルミートハミルトニアンでも、実数かつ下から有界なエネルギースペクトルを有する可能性はあるか？
• RQ2 正準変換の存在が、非エルミート系における超対称性の破れとどのように関係するか？
• RQ3 なぜPT対称ハミルトニアンは、非PT対称系では有効な正準変換によってそのスーパーパートナーに写像できないのか？
• RQ4 非エルミート量子系におけるPT対称性と超対称性の関係の本質は何か？
• RQ5 非PT対称な非エルミートハミルトニアンにおいて超対称性が破れる可能性はあり、これは一般のスペクトル安定性理解にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 導入された非エルミートハミルトニアンのクラスは、PT対称性が欠如しても実数で下から有界なエネルギースペクトルを有しており、スペクトル安定性が確認された。
• スーパーチャージとハミルトニアンを用いて閉じた超代数が構成され、系に一貫した超対称的構造が存在することが示された。
• このクラスに属する非PT対称ハミルトニアンは、正準変換によってそのスーパーパートナーに写像可能であり、スペクトルが保存された。
• 同様の正準変換は、PT対称ハミルトニアンに対してはそのスーパーパートナーへの写像に失敗し、代数的構造における本質的差異を示した。
• 正準変換がスーパーパートナーに接続しないにもかかわらずスペクトルが等価であるため、非PT対称ハミルトニアンでは超対称性が破れている。
• 本研究は、PT対称性と超対称性の間の新たな相互作用を明らかにし、PT対称性が欠如する状況でも超対称性の破れが生じ得ることを示した。