[論文レビュー] A new cohomology class on the moduli space of curves

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、忘却写像および接合写像を含む再帰的幾何的制約によって定義される、安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の新しいコhomology類 $Θ_{g,n}$ を導入する。主な結果は、交差数 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \Theta_{g,n} \prod \psi_i^{m_i}$ が再帰的に計算可能であり、KdVのtau関数を生成すると予想されることである。これは、コンツェビッチのウィッテン＝コンツェビッチの定理を、新たな種類の交差数へと拡張するものである。

ABSTRACT

We define a collection $Θ_{g,n}\in H^{4g-4+2n}(\overline{\cal M}_{g,n},\mathbb{Q})$ for $2g-2+n>0$ of cohomology classes that restrict naturally to boundary divisors. We prove that the intersection numbers $\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}Θ_{g,n}\prod_{i=1}^nψ_i^{m_i}$ can be recursively calculated. We conjecture that a generating function for these intersection numbers is a tau function of the KdV hierarchy. This is analogous to the conjecture of Witten proven by Kontsevich that a generating function for the intersection numbers $\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}\prod_{i=1}^nψ_i^{m_i}$ is a tau function of the KdV hierarchy.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上に、忘却写像および接合写像に関して自然な幾何的制約を満たす新しいコhomology類 $\Theta_{g,n}$ を定義すること。
• 交差数 $\Theta_{g,n}$ と $\psi$-類との間の交差数が、境界関係式を用いて再帰的に計算可能であることを確立すること。
• $\Theta_{g,n}$ の交差数の母関数が、ウィッテン＝コンツェビッチ理論に類似したKdV階層のtau関数であると予想すること。
• $\Theta_{g,n}$ と既存のコhomological field theory（Gromov-Witten不変量やトポロジカル再帰を含む）との関係を探索すること。
• 低 genusおよび小規模な $n$ に対する交差数の明示的計算を行い、KdV構造の予想と整合性があることを検証すること。

提案手法

• $\Theta_{g,n}$ はスピン曲線のモジュライ空間からのプッシュフォワードにより構成され、忘却写像および接合写像と整合性を持つ。
• $\Theta_{g,n}$ は再帰的性質を満たす：$\Theta_{g,n+1} = \psi_{n+1} \cdot \pi^*\Theta_{g,n}$ および $\phi_\Gamma^*\Theta_{g,n} = \Theta_\Gamma$（$\Gamma$ を安定グラフとして）。これにより境界ストラトム全体にわたる整合性が保証される。
• 境界ストラトムへのプッシュバックの単射性を仮定することで $\Theta_{g,n}$ の一意性を確立し、特に $\Theta_{1,1} = 3\psi_1$ に対して明示的な剛性を証明した。
• 境界分解と自己同型因子を用いて、$\Theta_{g,n}$-重み付き積分を低 genus の類に表現することで、交差数の再帰的計算を可能にした。
• $\int \Theta_{g,n} \prod \psi_i^{m_i}$ の母関数がKdV階層を満たすと予想され、ボーシェインヴィル＝ギヴェンタル（BGW）tau関数との項の一致に基づく。
• $g=2,3$ に対する明示的計算により、$\hbar^2$ 項までBGW tau関数と一致し、予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 忘却写像および接合写像に関して自然なプッシュバック性を満たし、かつ genus 1 で非自明な、コhomology類 $\Theta_{g,n} \in H^{4g-4+2n}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}, \mathbb{Q})$ が存在するか？
• RQ2 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \Theta_{g,n} \prod_{i=1}^n \psi_i^{m_i}$ の交差数が、境界関係式およびタウトロジカル関係式を用いて再帰的に計算可能か？
• RQ3 これらの交差数の母関数が、予想通りKdV階層のtau関数であるか？
• RQ4 $\Theta_{g,n}$ は、Gromov-Witten理論やトポロジカル再帰から生じる既知のコhomological field theory とどのように関係しているか？
• RQ5 $\Theta_{g,n}$ は、特に低 genus において、境界挙動によってどの程度一意に定まるか？

主な発見

• $\Theta_{g,n}$ は存在し、次数 $4g-4+2n$ に属する。$\Theta_{1,1} = 3\psi_1$ であり、非自明性と剛性が確認された。
• $g=2$ に対して、交差数 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{2,2}} \Theta_{2,2} \cdot \psi_1 \psi_2 = \frac{15}{1024}$ および $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{2,2}} \Theta_{2,2} \cdot \psi_1 = \frac{9}{128}$ が、再帰的境界分解により計算された。
• $g=3$ に対して、交差数 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{3,2}} \Theta_{3,2} \cdot \psi_1^2 = \frac{75}{1024}$ および $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{3,2}} \Theta_{3,2} \cdot \psi_1 \psi_2 = \frac{63}{512}$ が得られ、拡張方程式およびBGW tau関数と整合的である。
• $\Theta_{g,n}$-重み付き交差数の母関数は、ボーシェインヴィル＝ギヴェンタル（BGW）tau関数の $\hbar^2$ 項と一致し、KdV予想を支持する。
• $\Theta_{g,n}$ は $S_n$-作用に関して対称であり、すべての genus 0 成分を含むストラトム上で消える。これはその幾何的起源を反映している。
• 明示的計算により、$\Theta_{g,n}$-交差数が、ウィッテン＝コンツェビッチの場合と同様の再帰的構造を満たすが、新しいクラスに特有の係数変更が加わっていることが確認された。