[論文レビュー] A new complete Calabi-Yau metric on $\mathbb{C}^3$

Yang Li|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、H.-J. HeinのMonge-Ampère方程式の存在基準を用いて、漸近的半平坦計量の摂動により、$ℂ^3$ 上に最大体積成長を示す新しい完全なCalabi-Yau計量を構成する。この計量は特異な接空間錐$ℂ^2/\mathbb{Z}_2 \times ℂ$ をモデルとしている。主な貢献は、Gromov-Hausdorff収束理論における予想を覆す、$ℂ^3$ 上に非自明なリッチ平坦計量を構成したことである。この計量は、Lefschetz K3ファイブレーションにおけるノード点付近の崩壊挙動をモデル化する。

ABSTRACT

Motivated by the study of collapsing Calabi-Yau threefolds with a Lefschetz K3 fibration, we construct a complete Calabi-Yau metric on $\mathbb{C}^3$ with maximal volume growth, which in the appropriate scale is expected to model the collapsing metric near the nodal point. This new Calabi-Yau metric has singular tangent cone at infinity, and its Riemannian geometry has certain non-standard features near the singularity of the tangent cone $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{C}$, which are more typical of adiabatic limit problems. The proof uses an existence result in H-J. Hein's PhD thesis to perturb an asymptotic approximate solution into an actual solution, and the main difficulty lies in correcting the slowly decaying error terms.

研究の動機と目的

• Lefschetz K3ファイブレーションにおけるノード点付近の崩壊挙動をモデル化する、最大体積成長を示す$ℂ^3$ 上の完全なCalabi-Yau計量の構成。
• 半平坦アンツァツからの近似Calabi-Yau計量に生じる緩やかに減衰する誤差項を補正する幾何的課題の解決。
• 崩壊するCalabi-Yau 3-foldの特異ファイバー付近の漸近的幾何のモデル計量の提供。
• このような計量が、無限遠における特異接空間錐を有し得ることを示し、Gromov-Hausdorff収束理論における予想を反証すること。

提案手法

• ファイブレーション$σ z_i^2 = y$ のファイバーに制限されたStenzel計量をとる半平坦計量を用いて、漸近的近似解を構成する。
• 体積形式が$ℂ^3$ の標準体積形式の定数倍に漸近するように、アンツァツを変更・スケーリングする。
• 近似計量の誤差項、特に緩やかに減衰する項を慎重に分析する。これらは主な解析的課題を占める。
• 非コンパactsな$ℂ^3$ の設定において、H.-J. Heinの近似Calabi-Yau計量を正確な解に摂動するための存在基準を適用する。
• 標準的手法を用いて非コンパクト多様体上のMonge-Ampère方程式に対して摂動を実行し、得られる計量がリッチ平坦かつケーラーであることを保証する。
• 結果として得られる計量は、無限遠における特異接空間錐$ℂ^2/\mathbb{Z}_2 \times ℂ$ と同型であり、崩壊領域における非標準的なラプラシアンの振る舞いを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大体積成長と特異接空間錐$ℂ^2/\mathbb{Z}_2 \times ℂ$ を持つ、$ℂ^3$ 上の完全なCalabi-Yau計量を構成できるか？
• RQ2 このような計量の存在が、$ℂ^3$ 上の完全なリッチ平坦計量の無限遠における接空間錐が滑らかでなければならないという予想を覆すか？
• RQ3 この計量は、Lefschetz K3ファイブレーションにおけるノードファイバー付近の崩壊挙動の局所的モデルとして機能できるか？
• RQ4 Monge-Ampère方程式における摂動の最適な減衰率は何か？ それでも一意なCalabi-Yau計量が得られるか？
• RQ5 体積形式とファイブレーション構造を保つ非自明な変形は存在するか？

主な発見

• 最大体積成長を示す$ℂ^3$ 上の完全なCalabi-Yau計量が構成され、その無限遠における接空間錐は特異的多様体$ℂ^2/\mathbb{Z}_2 \times ℂ$ に同型である。
• Monge-Ampère方程式の漸近的近似解に対する摂動により計量が得られ、主な困難は緩やかに減衰する誤差項の制御にある。
• この構成は、リッチ平坦で最大体積成長を示すが、無限遠で特異接空間錐を持つため、Gromov-Hausdorff収束理論における予想を反証する反例を提供する。
• この計量におけるラプラシアンは、特異錐付近の崩壊領域で非標準的な振る舞いを示し、共型次元2の問題を常微分方程式の解法に還元する。
• この計量は、Lefschetz K3ファイブレーションにおけるノード点付近の崩壊極限をモデル化すると予想され、Eguchi-Hanson計量が$A_1$特異点をモデル化するのと同様の役割を果たす。
• このような計量のモジュライ空間には、ファイブレーションおよび計量構造を保存する対称性から生じる、少なくとも$SO(3,\mathbb{C})/SO(3,\mathbb{R}) \simeq SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ の同型な同次空間が含まれる。