[論文レビュー] A new complexity function, repetitions in Sturmian words, and irrationality exponents of Sturmian numbers

Yann Bugeaud, Dong Han Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2015

semigroups and automata theory参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、無限語 x における長さ n の任意の因子の2回目の出現を含む最小の接頭辞長を測る新しい複雑度関数 r(n, x) を導入する。この関数を用いて、最終的に周期的である語およびシューマン語を特徴づけ、シューマン語 s に対して liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5 が成り立つことを証明し、この上限が最良であることを示す。これにより、シューマン数の無理数指数に対する最良の下界が得られ、これを応用して a ≥ 34 のとき log(1 + 1/a) の b-ary 展開はシューマンでないことが示される。

ABSTRACT

We introduce and study a new complexity function in combinatorics on words, which takes into account the smallest second occurrence time of a factor of an infinite word. We characterize the eventually periodic words and the Sturmian words by means of this function. Then, we establish a new result on repetitions in Sturmian words and show that it is best possible. Let $b \\ge 2$ be an integer. We deduce a lower bound for the irrationality exponent of real numbers whose sequence of $b$-ary digits is a Sturmian sequence over $\\{0,1,\\ldots, b-1\\}$ and we prove that this lower bound is best possible. As an application, we derive some information on the $b$-ary expansion of $\\log(1+\\frac{1}{a})$,for any integer $a \\ge 34$.

研究の動機と目的

• 長さ n の因子の2回目の出現を含む最小の接頭辞長を捉える新しい複雑度関数 r(n,x) を定義・分析すること。
• r(n,x) の漸近的挙動を用いて、最終的に周期的である語およびシューマン語を特徴づけること。
• シューマン語 s に対して liminf r(n,s)/n の鋭い上界を確立し、それが最良であることを証明すること。
• この上界を用いて、シューマン数の無理数指数に対する最良の下界を導出すること。
• 結果を応用して、整数 a ≥ 34 のとき、log(1 + 1/a) の b-ary 展開がシューマンでないことを示すこと。

提案手法

• r(n,x) を、x の長さ m の接頭辞が、ある長さ n の因子を2回以上含むような最小の長さ m として定義する。
• シューマン語の組合せ的性質を用いて、繰り返し因子の構造を分析し、r(n,x) の境界を導出する。
• 任意のシューマン語 s に対して、liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5 が成り立ち、等号を達成するシューマン語を構成することで、これが最良であることを証明する。
• r(n,x) をディオファントス近似と関連付けることで、b-ary 展開がシューマンである実数の無理数指数と r(n,x) の成長率の関係を確立する。
• r(n,x) の境界を用いて、シューマン数の無理数指数に対する下界 5/3 + 4√10/15 を導出する。
• 結果を log(1 + 1/a) に応用し、a ≥ 34 のときその b-ary 展開がシューマンでないことを、導出された無理数指数の境界と矛盾することによって示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューマン語における関数 r(n,x) の漸近的挙動は何か？ また、すべてのシューマン語に一様に境界を適用できるか？
• RQ2 シューマン語 s に対して liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5 であるという上界は鋭いか？ また、等号は達成可能か？
• RQ3 r(n,x) の成長率は、b-ary 展開がシューマンである実数の無理数指数とどのように関係するか？
• RQ4 新しい複雑度関数 r(n,x) を用いて、シューマン数の無理数指数に対する最良の下界を確立できるか？
• RQ5 十分に大きな整数 a に対して、log(1 + 1/a) の b-ary 展開はシューマンでないか？ もしそうなら、その理由は何か？

主な発見

• 関数 r(n,x) は最終的に周期的である語を特徴づける：r(n,x) が有界であることは、x が最終的に周期的であることと同値である。
• シューマン語 s に対して、不等式 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5 が成り立ち、この境界は最良であり、特定のシューマン語で等号が達成される。
• 任意のシューマン数の無理数指数は、少なくとも 5/3 + 4√10/15 以上であり、この下界は最適である。
• 整数 a ≥ 34 のとき、log(1 + 1/a) の b-ary 展開はシューマンでない。これは、導出された無理数指数の境界と矛盾するためである。
• 関数 r(n,x) は古典的単語複雑度 p(n,x) よりもディオファントス近似との強い関連を持つことができ、超越性基準において p(n,x) の代わりに使用できる。