[論文レビュー] A new concept of deformation quantization, I. Normal order quantization on cotangent bundles

Markus J. Pflaum|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 1996

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ひとこと要約

本稿では、ノーマル順序を用いた変形量子化枠組みを導入し、余接 bundle 上の古典的観測可能量に対して、形式的べき級数量子化をプランク定数 ℏ の実数値にまで拡張する。多様体上での完全な記号計算を用いることで、関手的性質を保ちつつ、多項式および記号空間に適用可能な、形式的でないきめ細かな量子化手順を構築する。これは、形式的展開を超えた、新たな変形理論的量子化の手法を提供する。

ABSTRACT

In this work we give a deformation theoretical approach to the problem of quantization. First the notion of a deformation of a noncommutative ringed space over a commutative locally ringed space is introduced within a language coming from Algebraic Geometry and Complex Analysis. Then we define what a Dirac quantization of a commutative ringed space with a Poisson structure, the space of classical observables, is. Afterwards the normal order quantization of the Poisson space of classical polynomial observables on a cotangent bundle is constructed. By using a complete symbol calculus on manifolds we succeed in extending the normal order quantization of polynomial observables to a quantization of a Poisson space of symbols on a cotangent bundle. Furthermore we consider functorial properties of these quantizations. Altogether it is shown that a deformation theoretical approach to quantization is possible not only in a formal sense but also such that the deformation parameter $\hbar$ can attain any real value.

研究の動機と目的

• ℏ の形式的べき級数に制限されない変形理論的量子化枠組みの構築を目的とする。
• 余接 bundle 上の古典的観測可能量のポisson空間に対するディラック量子化の定義を目的とする。
• 多項式観測可能量のノーマル順序量子化を、多様体上での完全な記号計算へと拡張することを目的とする。
• 滑らかな多様体間の写像に関して、量子化手順が関手的であることを保証することを目的とする。
• 変形量子化が形式的でない場合でも、すべての実数値 ℏ に対して意味を持つことを示すこと。

提案手法

• 代数幾何学および複素解析の道具を用いて、可換局所環層空間への非可換環層空間の変形を導入する。
• ポisson構造を備えた可換環層空間の変形としてディラック量子化を定義する。
• 多様体上での記号計算を用いて、余接 bundle 上の多項式観測可能量に対するノーマル順序量子化を構築する。
• 完全な記号計算を用いて、多項式から余接 bundle 上の記号全空間への量子化を拡張する。
• 滑らかな多様体間の写像に関して、量子化が構造を保つことを保証し、関手的性質を確立する。
• ℏ を形式的べき級数展開に依存しない実数パラメータとして扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量子化を形式的でない形で定式化できるか。これにより、物理的 ℏ 値が許容されるか。
• RQ2 ノーマル順序は、多項式観測可能量から余接 bundle 上の一般の記号へと体系的に拡張可能か。
• RQ3 記号計算は、多様体上での一貫した量子化写像を構築する上で果たす役割は何か。
• RQ4 この変形理論的量子化枠組みにおいて、関手的性質はどのように生じるか。
• RQ5 形式的べき級数を超えて、ノーマル順序を用いたポアソン空間の古典的観測可能量を一貫して量子化できるか。

主な発見

• 本稿では、完全な記号計算を用いて、余接 bundle 上の多項式観測可能量に対するノーマル順序量子化を構築した。
• 量子化写像は、多項式観測可能量から余接 bundle 上の記号全空間へと拡張された。
• 変形パラメータ ℏ は、形式的べき級数の値に限定されず、任意の実数値を取ることが許容された。
• 量子化手順は関手的であり、多様体間の滑らかな写像のもとで構造が保たれた。
• 形式的展開を超えた、新たな変形理論的量子化枠組みが確立された。
• この構成により、余接 bundle 上の変形量子化におけるノーマル順序のきめ細かな実現が得られた。