[論文レビュー] A new conception for computing gröbner basis and its applications

Lei Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、F5、拡張F5、GVWアルゴリズムを一般化する統一されたTRB（Top Reductional Basis）アルゴリズムフレームワークを導入し、それらの有限終了性を体系的に分析可能にする。また、無用なS多項式を遮断する点で既存の基準を上回るMpair基準を提案し、すべてのTRBペアが正しく計算されることを保証する。

ABSTRACT

This paper presents a conception for computing gröbner basis. We convert some of gröbner-computing algorithms, e.g., F5, extended F5 and GWV algorithms into a special type of algorithm. The new algorithm's finite termination problem can be described by equivalent conditions, so all the above algorithms can be determined when they terminate finitely. At last, a new criterion is presented. It is an improvement for the Rewritten and Signature Criterion.

研究の動機と目的

• F5、拡張F5、GVWといった多様なグレブナー基底アルゴリズムを共通の計算フレームワークの下に統一すること。
• GVWおよびF5アルゴリズムにおける長年の未解決問題である有限終了性を、同等の終了条件を提供することで解決すること。
• 既存のRewritten基準およびSignature基準よりも多くの無用なS多項式を遮断する新しいフィルタリング基準（Mpair）を開発すること。
• グレブナー基底計算におけるアルゴリズム比較、実装、および将来の拡張のための一般化されたプラットフォームを構築すること。

提案手法

• F5、拡張F5、GVWを特別なケースとして含む一般化されたTRB（Top Reductional Basis）アルゴリズムを形式化する。
• 主要構造を定義：ペア (u,v) ∈ P^d × P、シグネチャ (lm(u))、および順序（単項式、シグネチャ、ペア順序）。
• Mpair基準を導入：ペア [m,p] は、それが初期ペアでもM-pairでもない場合に遮断される。
• M-pairを、m ≠ 1 かつ p がシグネチャおよびペア順序において他のペアと同等または劣る場合に最小の乗算ペアとして定義する。
• トップ還元と、MJCriterions（GSyzygy + Mpair）を通過する有効なJペアを常に受け入れるCheckStore機構を用いる。
• TRB-MJアルゴリズムがすべてのTRBペアを計算し、また、シジージまたはTRBシグネチャのみを格納することを証明し、正しさと完全性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F5、拡張F5、GVWアルゴリズムが有限に終了する条件は何か？
• RQ2 現代のグレブナー基底アルゴリズムの正しさと終了性を分析・比較できる統一フレームワークを構築できるか？
• RQ3 Mpair基準は、既存の基準（Rewritten、Signature）と比較して、無用なS多項式をどれほど効果的に遮断できるか？
• RQ4 Mpair基準は、Rewritten基準およびSignature基準が見逃す非TRBシグネチャを検出できるか？
• RQ5 TRB-MJアルゴリズムは、すべてのTRBペアを計算するのに十分であり、重複計算を回避できるか？

主な発見

• F5および拡張F5アルゴリズムは、常に有限に終了する。なぜなら、これらは正規のTRBアルゴリズムであるからである。
• GVWアルゴリズムは、単項式順序とシグネチャ順序がほとんど適合する場合に有限に終了する。
• Mpair基準は、Rewritten基準およびSignature基準よりも多くの不要なペアを遮断でき、かつそれらの基準が見逃す非TRBシグネチャを検出できる。
• Mpair基準により、TRBシグネチャ（およびシジージシグネチャ）のみが計算されることを保証し、探索空間を削減する。
• すべてのTRBペアがTRB-MJアルゴリズムによって計算される。これは、すべてのTRBシグネチャがMJシグネチャとして実現可能であるという事実によって証明される。
• TRB-MJアルゴリズムは正規のTRBアルゴリズムであり、MJCriterionsを通過する有効なJペアに対して、CheckStoreは常にtrueを返す。