[論文レビュー] A New Condition for the Invariance Principle for Stationary Random Fields

Yizao Wang, Michael Woodroofe|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$m$-依存近似法を用いて、多次元設定における定常ランダム場の中心極限定理および不変性原理を確立し、Maxwell–Woodroofe 条件に類似した投影型条件を導入する。主な貢献は、マルティングール近似が高次元で効果を発揮しないという制限を克服し、ランダム場への不変性原理の拡張を達成することにある。

ABSTRACT

We establish a central limit theorem and an invariance principle for stationary random fields, with projective-type conditions. Our result is obtained via an m-dependent approximation method. As applications, we establish invariance principles for orthomartingales and functionals of linear random fields.

研究の動機と目的

• 1次元定常過程における不変性原理および中心極限定理を、多次元定常ランダム場へ拡張すること。
• 従来のマルティングール近似法が次元 $d \geq 2$ のランダム場へ一般化されにくいという課題に対処すること。
• ランダム場の文脈において、Maxwell–Woodroofe 条件に類似した形の新しい条件を、不変性原理のためのものとして開発すること。
• 定常ランダム場の正規化された部分和が、$C[0,1]^d$ 内でブラウン運動に弱収束する十分条件を確立すること。

提案手法

• マルティングール近似に代えて、高次元のランダム場ではあまり効果が得られない $m$-依存近似法を用いる。
• 条件付き期待値を含む投影型条件を適用する：$\sum_{k=1}^\infty \frac{\|\mathbb{E}(f \circ T^k \mid \mathcal{F}_0)\|_2}{k^{1/2}} < \infty$、これを多次元設定に適応する。
• 増分の負の部分の独立コピーを用いたカップリング技術を用い、$m$-依存近似の誤差を制御する。
• モーメントバウンドとコーシー–シュワルツ不等式を用いて、近似誤差項の $L^p$-ノルムを制御する。
• ウ・(2002) のモーメント不等式を用い、長方形ブロック上のランダム場関数へのモーメントをバウンドする。
• 正則条件付き確率の理論を用いて、条件付き独立性の性質を確立し、誤差分解における重要なステップを正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元定常過程における不変性原理（Maxwell–Woodroofe 条件の下で知られているもの）は、次元 $d \geq 2$ の $\mathbb{Z}^d$ 上の定常ランダム場へ拡張可能か？
• RQ2 マルティングール近似が失敗する多次元ランダム場において、$m$-依存近似法が不変性原理の証明に有効であるか？
• RQ3 条件付き期待値に関するどのような投影型条件が、高次元におけるランダム場の関数的中心極限定理を保証するか？
• RQ4 一般の定常ランダム場を $m$-依存場に近似する際の誤差を、$L^p$-ノルムでどのように制御できるか？

主な発見

• 本稿は、Maxwell–Woodroofe 条件に類似した投影型条件：$\sum_{k=1}^\infty \frac{\|\mathbb{E}(f \circ T^k \mid \mathcal{F}_0)\|_2}{k^{1/2}} < \infty$ の下で、定常ランダム場に対する関数的中心極限定理を確立する。
• 正規化された部分和過程 $\frac{S_{\lfloor n \cdot \rfloor}}{\sqrt{n}}$ は、$C[0,1]^d$ 内で、$\sigma$ でスケーリングされたブラウン運動に弱収束する。ここで $\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(S_n^2)/n$ である。
• $m$-依存近似法は、$d \geq 2$ におけるマルティングール近似の制限を効果的に克服し、不変性原理の導出を可能にする。
• 誤差の $m$-依存近似における $L^p$-ノルムが、$O(A_{k+1-h,l+1-h}^{\alpha/2})$ であることが示された。ここで $A_{k,l}$ は長方形ブロックの面積を表す。
• 結果は、直交マルティングールおよび線形ランダム場の関数へ適用可能であり、既知の1次元結果を多次元へ拡張する。
• この条件は、1次元の場合に知られている最良の条件と一致しており、多次元設定においても最適性を示唆している。