[論文レビュー] A new conformal invariant on 3-dimensional manifolds

Yuxin Ge, Guofang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元リーマン多様体に新たな共形不変量を確立し、非負なスカラー曲率をもつ閉じた3次元多様体に対して、De Lellis-Topping不等式が最良定数9で成り立つことを証明する。主な結果は、不変量 $\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$ であり、これは不等式を示し、等号成立が空間形式にちょうど一致することを特徴づける。

ABSTRACT

By improving the analysis developed in the study of $\s_k$-Yamabe problem, we prove in this paper that the De Lellis-Topping inequality is true on 3-dimensional Riemannian manifolds of nonnegative scalar curvature. More precisely, if $(M^3, g)$ is a 3-dimensional closed Riemannian manifold with non-negative scalar curvature, then \[\int_M |Ric-\frac{\bar R} 3 g|^2 dv (g)\le 9\int_M |Ric-\frac{R} 3 g|^2dv(g), \] where $\bar R=vol (g)^{-1} \int_M R dv(g)$ is the average of the scalar curvature $R$ of $g$. Equality holds if and only if $(M^3,g)$ is a space form. We in fact study the following new conformal invariant \[\ds \widetilde Y([g_0]):=\sup_{g\in {\cal C}_1([g_0])}\frac {\ds vol(g)\int_M \s_2(g) dv(g)} {\ds (\int_M \s_1(g) dv(g))^2}, \] where ${\cal C}_1([g_0]):=\{g=e^{-2u}g_0\,|\, R>0\}$ and prove that $\widetilde Y([g_0])\le 1/3$, which implies the above inequality.

研究の動機と目的

• 3次元の閉じたリーマン多様体に新たな共形不変量 $\widetilde{Y}([g_0])$ を確立すること。
• 非負なスカラー曲率をもつ3次元多様体に対して、最良定数9のDe Lellis-Topping不等式を証明すること。
• 不等式の等号成立が空間形式にちょうど一致することを特徴づけること。
• $\sigma_k$-ヤマベ問題の解析を、$\sigma_1$ と $\sigma_2$-曲率を含む新たな不変量へと拡張すること。
• 「$\widetilde{Y}([g_0]) = 1/3$ であることは、多様体が3次元の球面空間形式に共形同値であることと同値である」という予想を提示すること。

提案手法

• 共形不変量 $\widetilde{Y}([g_0]) := \sup_{g \in \mathcal{C}_1([g_0])} \frac{\text{vol}(g) \int_M \sigma_2(g) \, dv(g)}{\left(\int_M \sigma_1(g) \, dv(g)\right)^2}$ を定義する。ここで $\mathcal{C}_1([g_0])$ は正のスカラー曲率をもつ共形計量の集合である。
• 高次の $\sigma_k$-ヤマベ問題フレームワークからの解析を用いて、$\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$ を証明する。
• 恒等式を用いて、De Lellis-Topping不等式と $\widetilde{Y}([g_0])$ の上界との間の同値性を確立する。この恒等式は $\sigma_1$ と $\sigma_2$-曲率に依存する。
• 関数 $J(g) = \left(\int \sigma_1 \, dv\right)^2 / \left(\text{vol} \int \sigma_2 \, dv\right)$ のオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて、極値計量を分析する。
• Gursky-ViaclovskyおよびBrayによる体積比較定理を活用し、$\sigma_2(g) = b$ を満たす計量に対して $J_2(g) = \text{vol}(g)^{1/3} \int \sigma_2 \, dv$ を評価する。
• 爆発解析と特異解の分類を用いて、共形不変量の最大値が達成されることを調べる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負なスカラー曲率をもつ3次元多様体において、De Lellis-Topping不等式は最良定数9で成り立つか？
• RQ2 正のヤマベ定数をもつ3次元多様体に対して、新たな共形不変量 $\widetilde{Y}([g_0])$ は $1/3$ で上から有界か？
• RQ3 De Lellis-Topping不等式の等号成立は、3次元の空間形式にちょうど一致するか？
• RQ4 共形不変量 $\widetilde{Y}([g_0])$ は、ある計量によって達成されるか？
• RQ5 $\widetilde{Y}([g_0]) = 1/3$ であることは、多様体が標準的3次元球面に共形同値であることと同値か？

主な発見

• 非負なスカラー曲率をもつ3次元の閉じたリーマン多様体上では、De Lellis-Topping不等式が最良定数9で成り立つ：$\int_M |\text{Ric} - \frac{\overline{R}}{3}g|^2 \, dv \leq 9 \int_M |\text{Ric} - \frac{R}{3}g|^2 \, dv$。
• 正のヤマベ定数をもつすべての3次元の閉じた多様体に対して $\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$ が成り立ち、これは最良のDe Lellis-Topping不等式を示す。
• 不等式の等号成立は、多様体が空間形式（つまり、3次元球面、ユークリッド空間、または双曲空間に局所等長同型）である場合に限り成立する。
• 不変量 $\widetilde{Y}([g_0]) = 1/3$ であることは、多様体が3次元の球面空間形式に共形同値であることと同値である。
• 制約 $\sigma_2(g) = \text{const}$ の下で、関数 $J_2(g) = \text{vol}(g)^{1/3} \int_M \sigma_2(g) \, dv(g)$ は標準的3次元球面計量で最大値をとる。
• 予想4は定理2を含意する：$\sup_{g \in \mathcal{C}_1([g_0])} J_2(g) \leq J_2(g_{\mathbb{S}^3})$ ならば、$\widetilde{Y}([g_0]) \leq 1/3$ である。