[論文レビュー] A new construction of the semi-infinite BGG resolution

Sergey Arkhipov|ArXiv.org|May 29, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、アフィンリー代数の半無限BGG分解の新しい構成を、半正則双モジュールとアフィンワイル群によって添字付けられたねじれファンクターを用いて提示する。これらのファンクターをヴェルマ加群に適用することで、ねじれたBGG分解が得られ、それらは帰納的系をなす。その極限として、ワキモト加群の複体として得られる半無限BGG分解が得られる。

ABSTRACT

We introduce the techniques of semiregular bimodules over a Lie algebra with respect to a Lie subalgebra. Using this techniques in the case of affine Lie algebras we introduce twisting functors on the categories of modules. These functors are enumerated by elements of the affine Weyl group corresponding to the chosen affine Lie algebra and map Verma modules to so called twisted Verma modules. Applying twisting functors to the BGG resolution of an integrable simple module we obtain a sequence of complexes called the twisted BGG resolutions. We show that the twisted BGG resolutions form an inductive system of complexes. It turns out that the limit complex of the inductive system is exactly the semi-infinite BGG resolution introduced by B. Feigin and E. Frenkel and consisting of direct sums of Wakimoto modules.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数の文脈において、半無限BGG分解を構成する新しい代数的枠組みを開発すること。
• リー代数の部分代数に関して、半正則双モジュールを用いて、モジュール圏上のねじれファンクターを定義し、それらを研究すること。
• ねじれたBGG分解と半無限BGG分解との間の関係を、帰納的極限の構成によって確立すること。
• ねじれた分解の極限複体が、ワキモト加群を含む半無限BGG分解と同型であることを示すこと。
• ファンクター的および圏論的メソッドを用いて、半無限BGG分解の概念的かつ構造的理解を提供すること。

提案手法

• リー代数の部分代数に関して、モジュール圏の操作を容易にするため、半正則双モジュールの概念を導入する。
• アフィンリー代数上のモジュール圏に、アフィンワイル群の元によって添字付けられたねじれファンクターを定義する。
• これらのファンクターをヴェルマ加群に適用し、標準的なヴェルマ加群の構成を一般化したねじれたヴェルマ加群を生成する。
• ねじれたヴェルマ加群の複体としてねじれたBGG分解を構成し、鎖複体の系列を形成する。
• ねじれたBGG分解が、複体間の包含写像または準同型写像に関して帰納的系をなすことを示す。
• この系の帰納的極限をとることで、半無限BGG分解が得られ、それがワキモト加群の直和の複体として実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェルマ加群上のファンクター的演算を用いて、半無限BGG分解を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 アフィンワイル群は、ねじれファンクターを通じてモジュール圏の自己同型を生成する役割を果たすか？
• RQ3 ねじれたBGG分解を、その極限が半無限分解を与える帰納的系に整理できるか？
• RQ4 ワキモト加群は、ねじれた分解の極限において自然に現れるか？
• RQ5 半正則双モジュールは、ねじれファンクターの定義と挙動の制御にどのような役割を果たすか？

主な発見

• アフィンワイル群によって添字付けられたねじれファンクターは、ヴェルマ加群をねじれたヴェルマ加群へ写像し、新たな加群を体系的に生成する方法を提供する。
• ねじれたBGG分解の系列は帰納的系をなしており、連続する複体の間に整合性のある準同型写像が存在する。
• ねじれたBGG分解の帰納的極限は、フェイジンとフレンケルが定義した半無限BGG分解と同型である。
• 極限複体は、ワキモト加群の直和の複体として実現され、それらが半無限分解における構造的役割を果たすことが確認された。
• この構成は、以前の幾何的またはコhomologicalな手法とは独立した、ファンクター的かつ新しい半無限BGG分解の導出を提供する。
• 半正則双モジュールの使用により、ねじれファンクターの明確な代数的定式化が可能となり、アフィンリー代数の表現論における圏論的明瞭性が向上した。