[論文レビュー] A New Definition of the Steenrod Operations in Algebraic Geometry

Alex Boisvert|ArXiv.org|May 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の素数 p および特徴が p でない体に対して、代数的幾何におけるチャウ理論における mod p スティーナロード作用素の新しい直接的定義を、μp の作用とロストの構成を用いて提示する。主な貢献は、等置換チャウ群やモチーフコホモロジーに依存せず、商のスキームと torsor を直接用いて作用素を定義する公式を提供することであり、それらがブロスナンの以前の定義と一致することを示すとともに、カルタンの公式や射影公式といった基礎的性質を確立する。

ABSTRACT

The Steenrod operations (mod p) in Chow theory are defined for any prime p for a quasi-projective scheme, without appealing to the results of any domain but Milnor's K-theory. The new definition also gives a direct formula that depends only on the scheme itself. Additionally, basic properties of the operations are proved from the new definition. The idea is based on a construction of M. Rost.

研究の動機と目的

• 任意の素数 p に対して、モチーフコホモロジーや等置換チャウ群に依存しない、チャウ理論におけるスティーナロード作用素の直接的かつ初等的な定義を提供すること。
• 滑らかな多様体への埋め込みや p 乗根の単位根を含む体拡張に依存するのを排除すること。
• スキーム構造と μp-群作用にのみ依存して作用素を定義することにより、自然性と函手性を保証すること。
• カルタンの公式、射影公式、積との整合性といった重要な性質が満たされることを証明すること。
• 計算可能で、ブロスナンの構成と同値である作用素の公式を確立すること。

提案手法

• スキーム X に Z/pZ-次数付き座標環を用いて μp-作用を定義し、固定点スキーム X^G と商スキーム X/G の構成を可能にする。
• Rost の作用素 ρ_i^W を基本構成要素とし、境界写像と W∖W^G に付随する torsor を用い、商上の標準的線分束を係数とする。
• 任意のスキーム X に対して R^p(X) を用いて、ブロスナンの P^n_G を模倣する写像 P_X: CH(X) → CH((R^p(X)∖X)/G) を構成する。
• スティーナロード作用素 S_k^X を、Rost の作用素 ρ_{(p-1)(n+k)} と写像 P_X の合成として定義し、符号補正を施す。
• R^p(X)^G = X であることを用いて、作用素が CH_*(X)/p に値をとることを保証し、定義を X に内在的にする。
• 変形技術と等置換チャウ理論における転送写像を用いて、函手性と積との整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャウ理論におけるスティーナロード作用素は、モチーフコホモロジーや等置換チャウ群に依存せずに定義可能か？
• RQ2 スキーム構造と μp-作用にのみ依存する、直接的な作用素の公式は存在するか？
• RQ3 新しい作用素はカルタンの公式と射影公式を満たすか？
• RQ4 新しい作用素はブロスナンの構成と同値であるか。もしそうなら、どのような条件下で同値となるか？
• RQ5 特に滑らかな多様体の場合に、作用素を明示的に計算可能か？

主な発見

• 新しいスティーナロード作用素の定義は、滑らかな多様体への埋め込みに依存せず、底体に p 乗根の単位根を含む必要がない。
• 作用素は Rost の作用素と X 及びその μp-作用にのみ依存する写像 P_X を含む合成として定義される。
• カルタンの公式が成り立つ：任意の γ, δ ∈ Ch(X) に対して S_X(γ·δ) = S_X(γ)·S_X(δ)。
• 射影公式が成り立つ：任意の滑らかなスキームの間の準同型 f: Y → X に対して f^*∘S_X = S_Y∘f^*。
• 滑らかなスキーム X と δ ∈ Ch^k(X) に対して、S_X^r(δ) は r=0 のとき δ、r=k のとき δ^p、それ以外のときは 0 である。
• 補題 6.5 における明示的計算により、新しい作用素がブロスナンの構成と一致することが示され、一貫性が確認された。