[論文レビュー] A new derivation of the gravitational self-force

Adam Pound|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2009

Pulsars and Gravitational Waves Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における重力自己力の導出のための新しい漸近的手法を提示する。内側展開（固定された体サイズ）と外側展開（縮小する体、固定された世界線）を組み合わせ、ローレンツゲージを用いて、世界線上の不変量のメトリック摂動成分を用いて、グローバルメトリック解をテール積分で表現する。この手法により、長時間スケールにわたる自己整合的な運動方程式が得られ、自己力は世界線上の不変量メトリック摂動成分で表される。

ABSTRACT

I review the problem of motion for small bodies in General Relativity, with an emphasis on developing a self-consistent treatment of the gravitational self-force. An analysis of the various derivations extant in the literature leads me to formulate an asymptotic expansion in which the metric is expanded while a representative worldline is held fixed; I discuss the utility of this expansion for both exact point particles and asymptotically small bodies, contrasting it with a regular expansion in which both the metric and the worldline are expanded. Based on these preliminary analyses, I present a general method of deriving self-consistent equations of motion for arbitrarily structured (sufficiently compact) small bodies. My method utilizes two expansions: an inner expansion that keeps the size of the body fixed, and an outer expansion that lets the body shrink while holding its worldline fixed. By imposing the Lorenz gauge, I express the global solution to the Einstein equation in the outer expansion in terms of an integral over a worldtube of small radius surrounding the body. Appropriate boundary data on the tube are determined from a local-in-space expansion in a buffer region where both the inner and outer expansions are valid. This buffer-region expansion also results in an expression for the self-force in terms of irreducible pieces of the metric perturbation on the worldline. Based on the global solution, these pieces of the perturbation can be written in terms of a tail integral over the body's past history. This approach can be applied at any order to obtain a self-consistent approximation that is valid on long timescales, both near and far from the small body. I conclude by discussing possible extensions of my method and comparing it to alternative approaches.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における小規模物体の重力自己力の自己整合的取り扱いを開発すること。
• メトリックと世界線の展開を区別することで、従来の導出における不整合を解消すること。
• 長時間スケールにわたって、小規模物体の近傍および遠方において有効なフレームワークを提供すること。
• 自己力を世界線上のメトリック摂動の不変量成分で表現すること。
• 体系的な漸近展開により、高次の近似を可能とすること。

提案手法

• メトリックを展開する一方で世界線を固定する漸近展開を定式化し、メトリックと世界線の両方を変化させる通常の展開とは対照的に扱う。
• 二重スケール展開を用いる：内側展開では物体のサイズを固定し、外側展開では物体を縮小しながら世界線を固定する。
• グローバル解を世界線を囲む小さな半径のワールドチューブ上の積分として表現するために、ローレンツゲージを課す。
• 両方の展開が有効なバッファ領域を介して、ワールドチューブ上での境界データを決定する。
• バッファ領域における局所的空間展開から自己力を導出し、世界線上のメトリック摂動を不変量成分に分解する。
• グローバル解を用いて、物体の過去歴にわたるテール積分として自己力を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、任意の構造を有する十分にコンパクトな小規模物体に対して、自己整合的な運動方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 メトリックを展開する一方で世界線を固定する漸近展開において、世界線の役割は何か？
• RQ3 自己力を、世界線上のメトリック摂動の不変量成分で体系的にどのように表現できるか？
• RQ4 ローレンツゲージとワールドチューブ積分を用いて、アインシュタイン方程式のグローバル解をどのように構成できるか？
• RQ5 バッファ領域における展開と自己力のテール積分表現との関係は何か？

主な発見

• 本手法は、小規模物体の近傍および遠方において、長時間スケールにわたって有効な自己整合的導出を可能にする。
• 自己力は、外側展開におけるグローバル解から導かれる、物体の過去歴にわたるテール積分として表現される。
• 世界線上のメトリック摂動の不変量成分は、バッファ領域における展開によって決定され、内側解と外側解の整合性が保証される。
• ローレンツゲージの使用により、小さなワールドチューブ上のデータを用いた、グローバルメトリック解の適切に定式化された積分表現が可能になる。
• 本手法は、任意の次数の近似へ体系的に拡張可能であり、小規模物体の運動を高精度にモデル化することが可能になる。
• 従来の通常の展開アプローチに見られる曖昧さを解消するため、メトリック展開と世界線展開を明確に区別している。