[論文レビュー] A new discontinuous Galerkin spectral element method for elastic waves with physically motivated numerical fluxes

Kenneth Duru, Leonhard Rannabauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の適切な境界条件および界面条件（非線形摩擦法則を含む）下でも安定性と高次精度を保証する物理的根拠に基づく数値フラックスを備えた、弾性波伝播のための新規な不連続ガレルキン（DG）スペクトル要素法を提示する。この手法は、物理的条件で制約されたリーマンに類似した問題を解き、エネルギー安定なペナルティ重みを用いて入射特性をペナルティ化することで、証明可能に安定な上流型スキームを構築し、動的地震破壊シミュレーションに適している。

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) method is an established method for computing approximate solutions of partial differential equations in many applications. Unlike continuous finite elements, in DG methods, numerical fluxes are used to enforce inter-element conditions, and internal and external physical boundary conditions. However, for certain problems such as elastic wave propagation in complex media, where several wave types and wave speeds are simultaneously present, a standard numerical flux may not be compatible with the physical boundary conditions. If surface or interface waves are present, this incompatibility may lead to numerical instabilities. We present a stable and arbitrary order accurate DG method for elastic waves with a physically motivated numerical flux. Our numerical flux is compatible with all well-posed, internal and external, boundary conditions, including linear and nonlinear frictional constitutive equations for modelling spontaneously propagating shear ruptures in elastic solids and dynamic earthquake rupture processes. We present numerical experiments in one and two space dimensions verifying high order accuracy and asymptotic numerical stability, and demonstrating potentials for modelling complex nonlinear frictional problems in elastic solids.

研究の動機と目的

• 複雑な物理的境界条件および界面条件下でも強固に保たれる、弾性波方程式のための安定的かつ高次精度なDG法の開発。
• 複数の波型および速度を伴う波動伝播をモデル化する際、標準的なDG法で生じる数値不安定性を解消すること。特に、表面波や界面波が存在する場合に有効であることを目的とする。
• スリップ弱体化挙動を含む非線形摩擦的本構成則に従う動的地震破壊プロセスの正確なシミュレーションを可能とすること。
• 物理的動機付けに基づく数値フラックス構築により、エネルギー安定性および漸近的数値安定性を保証すること。
• 複雑な現実世界の地球物理学的状況を想定した、多次元および自己適合メッシュ・リファインメントを組み合わせた手法の拡張。

提案手法

• 手法は、要素界面におけるリーマンに類似した問題を解き、境界または界面条件（線形および非線形摩擦法則を含む）で制約された数値フラックスを構築する。
• 弾性波PDE系の固有構造に基づいて導出された物理的動機付けのペナルティ重みを用いて、境界における入射特性波をペナルティ化する。
• フラックスヤコビアンの固有値分解に基づいてフラックスフラクチュエーションベクトルを構築し、元のPDEの波動伝播特性と整合性を保つ。
• ペナルティパラメータは上流化を強制し、連続エネルギー恒等式を模倣する離散エネルギー推定を導くように選択され、安定性を保証する。
• 空間演算子のスペクトル半径は境界条件に依存せず有界であり、効率的な明示的時間積分を可能にする。
• 曲線座標系、非構造的、自己適合メッシュを用いた2次元および3次元への拡張が行われ、破壊フロントと遠方波場の両方を同時に解像するためのリファインメントは、すべり速度および波振幅のしきい値に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弾性波方程式のための不連続ガレルキン法において、すべての適切な線形および非線形境界条件および界面条件と整合する数値フラックスを構築可能か？
• RQ2 提案された物理的動機付けに基づくフラックスは、複雑な波干渉および非線形摩擦的界面下でもエネルギー安定性および漸近的数値安定性を保証するか？
• RQ3 不均質媒質および複雑な幾何形状を伴う弾性波問題において、最適収束率および高次精度（最大次数10）を達成できるか？
• RQ4 スリップ弱体化摩擦法則に従う動的地震破壊のシミュレーションにおいて、破壊の伝播および波動放射を的確に捉えることができるか？
• RQ5 局所的破壊フロントと遠方波場の両方を同時に解像するため、自己適合の多段階メッシュリファインメントに効率的に拡張可能か？

主な発見

• 提案された数値フラックスはエネルギー安定性を保証し、連続エネルギー恒等式を正確に模倣する離散エネルギー推定を導く。これにより、長期的な数値安定性が証明される。
• 空間演算子のスペクトル半径は境界条件や界面条件に依存せず有界であり、効率的な明示的時間積分が可能である。
• 1次元および2次元の数値実験により、多項式次数N=10まで最適収束率が確認され、高次精度が実証された。
• スリップ弱体化摩擦法則（fs=0.677, fd=0.525, dc=0.40 m）に従う断層上での動的地震破壊のシミュレーションに成功し、安定した破壊核化と伝播が達成された。
• すべり速度（>1 cm/s）および波振幅（>50 cm/s RMS）のしきい値に基づく自己適合メッシュリファインメントにより、2次元において破壊フロントと放射される弾性波を効果的に追跡し、複数のリファインメントレベルを実現した。
• 本手法はExaHyPEに実装されており、SeismoLive上で公開されたJupyterノートブックとして利用可能であり、教育的およびハイパフォーマンスコンピューティング用途に適している。