[論文レビュー] A New Discretization of Classical and Quantum General Relativity

Ola Boström, Miller, M.+1 more|ArXiv.org|Apr 5, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーシュテカー変数におけるカポヴィラ＝デル＝ジャコブソン作用の離散化を用いて、一般相対性理論（古典的および量子的）の新しい離散的定式化を提案する。これはレッジ計算に類似しているが、曲率が低次元の単体に局在化される点が特徴である。ラグランジュ形式およびハミルトニアン形式の両方を提示し、離散的微分同相変換およびハミルトニアン制約が可換でないことが判明し、量子領域における非自明な代数的構造を示唆している。

ABSTRACT

We propose a new discrete approximation to the Einstein equations, based on the Capovilla-Dell-Jacobson form of the action for the Ashtekar variables. This formulation is analogous to the Regge calculus in that the curvature has support on sets of measure zero. Both a Lagrangian and Hamiltonian formulation are proposed and we report partial results about the constraint algebra of the Hamiltonian formulation. We find that the discrete versions of the diffeomorphism constraints do not commute with each other or with the Hamiltonian constraint.

研究の動機と目的

• 連続理論の主要な幾何的および力学的特徴を保ちつつ、一般相対性理論の離散的近似を構築すること。
• カポヴィラ＝デル＝ジャコブソン作用に基づく新しい離散化を用いて、レッジ計算の枠組みをアーシュテカー形式に拡張すること。
• 離散時空複体上に一貫したラグランジュ形式およびハミルトニアン形式を構築すること。
• 離散的ハミルトニアン形式における制約の代数的構造、特にそれらの可換性を調査すること。
• 有限次元的設定における制約代数の分析を通じて、離散的量子重力理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 重力がゲージ理論として再定式化されるアーシュテカー変数におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用のカポヴィラ＝デル＝ジャコブソン形式に基づく離散化。
• 曲率が測度ゼロの集合に局在化されるが、これはレッジ計算に類似しているが、アーシュテカー形式のスピン接続およびトライアド変数に適合されている。
• 曲率がヒンジ（2次元単体）に支持される、区分的線形時空複体上で作用を統合することにより離散ラグランジアンを構築する。
• 離散作用の正準分解を実行し、正準対および制約を同定することでハミルトニアン形式を導出する。
• 離散的微分同相変換制約とハミルトニアン制約の間のポアソン括弧を計算することで、制約代数を分析する。
• 元のバージョンにおける計算誤りを是正し、制約の非可換性に関する見直しの結論を導いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カポヴィラ＝デル＝ジャコブソン作用は、一般相対性理論の幾何的構造を保ちつつ、どのように離散化可能か？
• RQ2 離散的ハミルトニアン形式における重力の制約代数の構造はいかなるものか？
• RQ3 離散的微分同相変換制約は互いに可換か、またハミルトニアン制約とも可換か？
• RQ4 この離散的枠組みから一貫した正準量子化を構築可能か？
• RQ5 非可換な制約は、重力の量子理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 離散的微分同相変換制約は互いに可換でないため、離散ゲージ代数に非アーベル的構造が存在することが示唆される。
• 離散的微分同相変換制約はハミルトニアン制約と可換でないため、非自明な制約代数が存在することが示唆される。
• ハミルトニアン制約は微分同相変換制約とのポアソン括弧の下で閉じていないため、標準的な制約代数構造の破綻を示唆する。
• 結果は、離散理論が量子重力の非摂動的特徴を捉えているという予想と整合的である。
• 見直されたバージョンでは、初期の計算誤りが是正され、制約代数に関する結論が強化された。
• この枠組みは、離散的時空構造を用いた重力の正準量子化への新たな道筋を提供する。