[論文レビュー] A New Efficient Asymmetric Cryptosystem Based on the Square Root Problem

Muhammad Rezal Kamel Ariffin, Muhammad Asyraf Asbullah+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平方根モジュロ問題に基づく新しい非対称暗号方式である $AA_{\beta}$-暗号方式を提案する。この方式は、ラビン暗号方式の4対1の復号曖昧性を解消する。$e_{A1} = p^2q$ および $e_{A2} = pq^2$ を用いた独創的な鍵構造を導入することで、$O(n^2)$ の計算量で一意な復号が可能となり、RSA や ECC やエルガマルを上回る速度を実現する。また、1ブロックあたり最大4nビットのデータ送信を可能とし、低消費電力デバイスに適した単純で効率的な数学的構造を提供する。

ABSTRACT

The square root modulo problem is a known primitive in designing an asymmetric cryptosystem. It was first attempted by Rabin. Decryption failure of the Rabin cryptosystem caused by the 4-to-1 decryption output is overcome efficiently in this work. The proposed scheme (known as the AA_β- cryptosystem) has its encryption speed having a complexity order faster than the Diffie-Hellman Key Exchange, El-Gammal, RSA and ECC. It can also transmit a larger data set securely when compared to existing asymmetric schemes. It has a simple mathematical structure. Thus, it would have low computational requirements and would enable communication devices with low computing power to deploy secure communication procedures efficiently.

研究の動機と目的

• ラビン暗号方式の4対1の復号失敗問題を解決し、その効率性にもかかわらず実用的導入が阻まれていた問題を解消すること。
• RSA や ECC やエルガマルを上回る速度を実現する $O(n^2)$ の暗号化および復号計算量を有する暗号方式を設計すること。
• 計算コストの増加なしに、より大きなデータブロック（最大4nビット）の安全な送信を可能とすること。
• 整数因数分解、合成数における平方根、および因数分解が未知の状態でのモジュラリズムの難解性に基づく、複数の困難な問題を用いて安全性を保証すること。
• 強力なセキュリティを維持しつつ、計算能力が制限されたデバイスへの低コスト実装に適した単純な数学的構造を提供すること。

提案手法

• 本方式は、$p$ および $q$ を大きな素数として、$e_{A1} = p^2q$ および $e_{A2} = pq^2$ という2つの公開鍵を用い、暗号化式 $C \equiv U e_{A1} + V^2 e_{A2} \pmod{N}$ を定義する。
• 暗号化は除法や大規模なモジュラ累乗といった高コストな演算を避けて、基本的な乗算とモジュラ加算のみを用いる。
• 復号は秘密鍵 $(p,q)$ を用いて $e_{A1}$ における平方根を計算し、$U$ を $e_{A2}$ で法として還元することで、合同式系により一意な平文を保証する。
• 本方式は中国剰余定理および二次剰余の性質を活用して、ラビン方式における4根の曖昧性を解消する。
• 安全性は、$e_{A1} = p^2q$ の因数分解を知らない状態で $V^2 \equiv \alpha \pmod{e_{A1}}$ を解くことが不可能であることに基づく。また、$e_{A2}$ における還元の前に $U$ を計算することが不可欠である。
• 本方式は $\gcd(e_{A1}, e_{A2}) = 1$ となるように設計されており、合同式系が平文を一意に特定することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラビン暗号方式における4対1の復号曖昧性は、その計算効率を保ちつつ解消可能か？
• RQ2 暗号化および復号に $O(n^2)$ の計算量を有する非対称暗号方式を設計でき、かつ大容量のデータブロックを扱えるか？
• RQ3 合成数における平方根問題を、コッパーズミス型攻撃や格子ベース攻撃といった既知の攻撃を回避する新しい暗号方式の安全な基盤として利用可能か？
• RQ4 提案された $AA_{\beta}$-暗号方式は、速度およびブロックサイズの面で、RSA や ECC や NTRU を上回る性能とスループットを達成できるか？
• RQ5 本方式は、制限された計算能力を持つデバイスへの低コスト実装に適した単純な数学的構造を有するか？

主な発見

• $AA_{\beta}$-暗号方式は、暗号化および復号の両方で $O(n^2)$ の計算量を達成しており、RSA や ECC やエルガマルが有する $O(n^3)$ の計算量を上回る。
• 本方式は1回の暗号化で最大4nビットの平文を送信可能であり、RSA や ECC の一般的なブロックサイズに比べて顕著に大きい。
• 暗号文拡張比は $1:1.75$ であり、大容量ブロックではRSAの $1:1$ よりも有利で、大容量データ送信においてより高い効率性を示す。
• 本方式は $e_{A1} = p^2q$ および $e_{A2} = pq^2$ に基づく鍵構造を用いることで、4つの可能な根から一意な平文を回復可能であり、復号の一意性を保証する。
• $e_{A1}$ の因数分解が不明な状態で $V$ を $V^2 \equiv \alpha \pmod{e_{A1}}$ と満たすように計算することは不可能であるため、本方式はコッパーズミス型攻撃および格子ベース攻撃に対して安全である。
• 合同式 $C \equiv V^2 \pmod{e_{A1}}$ を解くことと $e_{A1}$ の因数分解を解くことが同等であることが証明されており、本方式を破るには整数因数分解問題を解く必要があることが示された。