[論文レビュー] A new efficient Hamiltonian approach to the nonlinear water-wave problem over arbitrary bathymetry

Christos Papoutsellis, G. A. Athanassoulis|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2017

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 69被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、垂直方向の速度ポテンシャル展開を用いて、ルーカーの変分原理から正確なオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、任意の水深地形上での完全非線形水波のハミルトニアン形式を初めて提示する。この手法は、滑らかで周期的でない領域において、任意の海底形状および自由表面形状に対して有効な閉形式表現を用いて、ディリクレからノイマンへの作用素を効率的に計算可能であり、実験的検証を伴う強力な非線形性と分散性を示す波-海底相互作用の高精度なシミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

A new Hamiltonian formulation for the fully nonlinear water-wave problem over variable bathymetry is derived, using an exact, vertical series expansion of the velocity potential, in conjunction with Luke's variational principle. The obtained Euler-Lagrange equations contain infinite series and can rederive various existing model equations upon truncation. In this paper, the infinite series are summed up, resulting in two exact Hamiltonian equations for the free-surface elevation and the free-surface potential, coupled with a time-independent horizontal system of equations. The Dirichlet to Neumann operator is given by a simple and versatile representation, which is valid for any smooth fluid domain, not necessarily periodic in the horizontal direction(s), without limitations on the steepness and deformation of the seabed and the free surface. An efficient numerical scheme is presented and applied to the case of one horizontal dimension, establishing the ability of the new formulation to simulate strongly nonlinear and dispersive wave-bottom interactions by comparison with experimental measurements.

研究の動機と目的

• 海底や自由表面の幾何形状に制限を設けない、変動する水深地形上での完全非線形でハミルトニアン形式の水波の定式化を構築すること。
• 垂直方向の速度ポテンシャル展開から生じる無限級数を総和し、自由表面の高さおよびポテンシャルに関する正確な方程式を導出すること。
• 周期的でない領域、任意の海底地形および波の傾きに対応可能な汎用的かつ効率的な数値スキームの構築。
• 強力な非線形性と分散性を示す波-海底相互作用について、実験データと比較してモデルの妥当性を検証すること。
• 切り捨てることで既存のモデル方程式を回復できる一般化された枠組みを提供し、従来の理論と整合性を保つこと。

提案手法

• 流体領域における速度ポテンシャルの正確な垂直方向級数展開を用いて、ルーカーの変分原理から定式化を導出する。
• 得られたオイラー＝ラグランジュ方程式には無限級数が含まれるが、これらを解析的に総和することで、ハミルトニアン系の閉形式表現を得る。
• ディリクレからノイマンへの作用素は、周期性や海底変形の有無にかかわらず、任意の滑らかな流体領域に対して有効な単純かつ正確な形で表現される。
• 自由表面の動的挙動と時間に依存しない水平方向の連立方程式を結合することで、効率的な数値実装が可能になる。
• 1次元の水平方向に限定して、数値スキームを構築し、任意の水深地形上での波の伝播をシミュレートする。
• 強力な非線形ケースについて、シミュレートされた波形と実験的測定値を比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期性や波の傾きに制限を設けず、任意の水深地形上での完全非線形水波に対して、ハミルトニアン形式を構築することは可能か？
• RQ2 垂直方向の速度ポテンシャル展開から生じる無限級数をどのようにして総和し、自由表面の動的挙動に関する正確な方程式を得られるか？
• RQ3 任意の海底形状および自由表面形状を有する一般の滑らかな領域におけるディリクレからノイマンへの作用素の形はどのようなものか？
• RQ4 提案手法は、実験データと比較して、強力な非線形性と分散性を示す波-海底相互作用を高精度にシミュレートできるか？
• RQ5 新しい定式化は、切り捨てることで既存のモデル方程式をどのように回復するか、それらとどのような関係にあるか？

主な発見

• 導出された方程式に含まれる無限級数は解析的に総和され、自由表面の高さおよびポテンシャルに関する正確なハミルトニアン方程式が得られた。
• ディリクレからノイマンへの作用素は、任意の滑らかな流体領域（周期的でなく、顕著に変形した幾何形状を含む）に対して有効な単純な閉形式表現として表現された。
• 本手法により、1次元の水平方向において、強力な非線形性と分散性を示す波-海底相互作用の高精度なシミュレーションが可能となった。
• 数値結果は、複雑な波-海底相互作用について実験的測定値と良好に一致しており、モデルの頑健性が確認された。
• 定式化は一般性に富み、切り捨てることでさまざまな既存のモデル方程式を回復でき、従来の理論と整合性を示した。
• 本手法は計算的に効率的であり、波の傾きに制限を設けず、任意の海底および自由表面の変形を有する領域に適用可能である。