[論文レビュー] A new embedded variable stepsize, variable order family of low computational complexity

Victor DeCaria, Ahmet Guzel+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、計算コストがBDF3と同等の、埋め込み可変ステップサイズ・可変次数（VSVO）の陰的常微分方程式積分法であるMOOSE234を紹介する。BDF3の解に線形時間フィルタを適用することで、追加コストを最小限に抑えつつ、2次、3次、4次精度の近似解と誤差推定値を生成する。この手法により、レガシなCFDコードへの非侵襲的かつ並列化可能な実装が可能になる。

ABSTRACT

Variable Stepsize Variable Order (VSVO) methods are the methods of choice to efficiently solve a wide range of ODEs with minimal work and assured accuracy. However, VSVO methods have limited impact in timestepping methods in complex applications due to their computational complexity and the difficulty to implement them in legacy code. We introduce a family of implicit, embedded, VSVO methods that require only one BDF solve at each time step followed by adding linear combinations of the solution at previous time levels. In particular, we construct implicit and linearly implicit VSVO methods of orders two, three and four with the same computational complexity as variable stepsize BDF3. The choice of changing the order of the method is simple and does not require additional solves of linear or nonlinear systems.

研究の動機と目的

• 流体力学のような複雑な応用分野でのVSVO法の採用が限定的であるのは、計算複雑性が高く、実装が困難であるため。
• 従来のVSVO法が1タイムステップあたり複数回の非線形方程式系の反復を要するという障壁を、追加計算コストを最小限に抑えることで克服する。
• 高次精度を追加の反復とは分離することで、レガシなCFDコードへの非侵襲的かつ並列処理に適した統合を可能にする。
• 1回のBDF3解法の後に適用する後処理フィルタによって、誤差推定値と高次精度解を生成する埋め込み手法の族を構築する。
• 2次バージョンに対してA安定性およびG安定性を保証するとともに、可変ステップサイズおよび可変次数選択のための低計算複雑性を維持する。

提案手法

• BDF3解に線形時間フィルタを適用することで、4次精度を達成するフィルタドBDF3法（FBDF4）を構築する。
• BDF3解に2番目のフィルタ、BDF3-Stabを適用し、2次精度でA安定かつG安定な近似を得る。
• フィルタド解の差分（例：$y^2_{n+1} - y^3_{n+1}$）を用いて、適応的タイムステップ選択のための埋め込み誤差推定値を生成する。
• 1段階法（OLM）として定式化することで、望ましい安定性特性と可変ステップサイズ戦略との整合性を確保する。
• 過去の解値の線形結合としてフィルタを設計することで、低計算コストとSIMD並列処理を維持する。
• 第4節で、埋め込み誤差推定値を用いて動的にステップサイズと次数を選択する可変ステップサイズアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1回のBDF3解法から、追加コストを最小限に抑えつつ、高次・埋め込み・安定な手法を時間フィルタリングによって構築できるか？
• RQ2 初期に後退オイラー法を出発点とする場合、線形時間フィルタリングで達成可能な最大次数は何か？ これは設計アプローチにどのような制限をもたらすか？
• RQ3 BDF3と同等の計算複雑性を維持しながら、精度と安定性を確保する可変ステップサイズ・可変次数（VSVO）アルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 非線形方程式系の追加反復を要せず、誤差推定値を解法プロセスに埋め込む方法は何か？
• RQ5 得られた手法は、最小限のコード変更でレガシなCFDコードに効率的に統合可能であり、並列アーキテクチャをサポートできるか？

主な発見

• 1タイムステップあたり1回のBDF3解法で、2次、3次、4次精度を達成でき、高次解と誤差推定値は線形時間フィルタによって得られる。
• 2次バージョン（BDF3-Stab）はA安定かつG安定であることが証明されており、剛性問題に対してもロバストである。
• 埋め込み族全体の計算コストは、1回のBDF3解法に支配的であり、フィルタリングステップによるオーバーヘッドは無視できる。
• 誤差推定値 $Est_2 = y^2_{n+1} - y^3_{n+1}$ および $Est_3 = y^4_{n+1} - y^3_{n+1}$ は埋め込まれており、追加の関数評価を必要としない。
• MOOSE234はヴァン・デル・ポール問題において良好な性能を示し、線形的陰解法版では非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を効果的に解く。
• 本手法により、非侵襲的かつSIMDフレンドリーかつ並列化可能なレガシなCFDコードへの統合が可能となり、VSVO法の採用を阻害する主な障壁が克服された。