[論文レビュー] A new estimator for Weibull distribution parameters: Comprehensive comparative study for Weibull Distribution

Sahar Sadani, Kamel Abdollahnezhad+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2パラメータワイブル分布の形状およびスケール母数のための新しいU統計量推定量を提案し、その一貫性および漸近正規性を証明する。広範なモンテカルロシミュレーションを通じて、大標本サイズにおいて、9つの既存の推定量よりもバイアスの観点で優れていることが示され、特にn ≥ 1000のとき、形状およびスケール母数の推定において顕著な優位性を示す。

ABSTRACT

Weibull distribution has received a wide range of applications in engineering and science. The utility and usefulness of an estimator is highly subject to the field of practitioner's study. In practice users looking for their desired estimator under different setting of parameters and sample sizes. In this paper we focus on two topics. Firstly, we propose $U$-statistics for the Weibull distribution parameters. The consistency and asymptotically normality of the introduced $U$-statistics are proved theoretically and by simulations. Several of methods have been proposed for estimating the parameters of Weibull distribution in the literature. These methods include: the generalized least square type 1, the generalized least square type 2, the $L$-moments, the Logarithmic moments, the maximum likelihood estimation, the method of moments, the percentile method, the weighted least square, and weighted maximum likelihood estimation. Secondary, due to lack of a comprehensive comparison between the Weibull distribution parameters estimators, a comprehensive comparison study is made between our proposed $U$-statistics and above nine estimators. Based on simulations, it turns out that the our proposed $U$-statistics show the best performance in terms of bias for estimating the shape and scale parameters when the sample size is large.

研究の動機と目的

• 2パラメータワイブル分布の形状およびスケール母数のための新しいU統計量に基づく推定量を開発すること。
• 提案されたU統計量の理論的性質（一貫性および漸近正規性）を確立すること。
• さまざまな標本サイズおよび母数設定下での10種類の推定手法の包括的比較研究を実施すること。
• 標本サイズおよび望ましい性能指標（バイアス、RMSE）に基づいて、実務家が最適な推定量を選択できるように支援すること。

提案手法

• 順序統計量およびi.i.d.ワイブル変数においてmin(X₁, X₂) ≡ 2^(-1/α)X₁ が成り立つ分布的性質を用いて、ワイブル分布母数のためのU統計量を導出する。
• 2つのi.i.d.ワイブル変数の最小値が単一の変数のスケーリング版と分布的に同等であることを示す重要な補題を採用する。
• 対称カーネルに基づいて、形状（α）およびスケール（β）母数の推定量をU統計量理論を用いて構築する。
• 正則性条件の下で、提案されたU統計量推定量の漸近正規性および一貫性を証明する。
• 複数の母数設定（α = 0.5, 2.5；β = 0.5, 2.5）および標本サイズ（n = 100, 400, 1000, 4000）におけるモンテカルロシミュレーションを実施する。
• バイアスおよび平均二乗誤差（RMSE）を用いて、10種類の推定量（GLS1, GLS2, LM, MLM, MLE, MM, PM, U-statistic, WLS, WMLE）の性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 さまざまな標本サイズにおいて、提案されたU統計量推定量は、9つの既存の推定量と比較して、バイアスおよびRMSEの観点でどのように異なるか？
• RQ2 大標本サイズ（n ≥ 1000）において、形状およびスケール母数を推定する際に、どの推定量が最も低いバイアスを示すか？
• RQ3 小標本および大標本において、RMSEの観点からU統計量はMLE、WLS、およびGLS手法と比較してどのように順位付けされるか？
• RQ4 さまざまな形状およびスケール母数の組み合わせにおいて、U統計量は優れた性能を維持するか？
• RQ5 推定量の性能順位は、標本サイズおよび母数設定に応じてどのように変化するか？

主な発見

• 大標本サイズ（n ≥ 1000）において、すべてのテストされた母数組合せにおいて、U統計量推定量は形状およびスケール母数の両方で最小のバイアスを示す。
• 小標本サイズ（n = 100）において、重み付き最小二乗法（WLS）推定量がバイアスの観点で最も優れた性能を示す。
• パーセンタイル法（PM）は形状母数のRMSEが最大であり、すべての推定量の中でRMSEの観点で最悪の性能を示す。
• 重み付き最小二乗法（WLS）は、すべての標本サイズにおいて形状母数のRMSEを最小化する。
• 一般化最小二乗法タイプI（GLS1）推定量は、すべての比較手法の中で大標本サイズにおけるバイアス性能が最悪である。
• 72件の観察値からなる寿命データセットを用いた実データ応用において、U統計量はコルモゴロフ・スミルノフ（KS）検定統計量0.0934およびCVM 0.0591を達成し、適合度の指標においてMLEおよびWMLEを上回った。