[論文レビュー] A new exponent of simultaneous rational approximation

Anthony Poëls|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

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ひとこと要約

本稿では、変動する減衰率 $|x_0|^{-\mu}$ の下で近似を制御する指数 $\tilde{\lambda}_\mu(\xi, \eta)$ の下界として定義される、新たな指数 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ を導入する。パラメトリックな数の幾何学を用いて、$\mathbb{Q}$ 上で 1 と線形独立な $\xi, \eta$ のペアについて、$(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ のスペクトルを完全に特徴付け、$\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1$、$\lambda > 1/2$、および $\tilde{\lambda}_{\min}^2 / (1 - \tilde{\lambda}_{\min}) \leq \lambda$ が成り立つことを示し、明示的な構成により等号成立の場合を特定する。

ABSTRACT

We introduce a new exponent of simultaneous rational approximation $\widehat{\lambda}_{\min}(\xi,\eta)$ for pairs of real numbers $\xi,\eta$, in complement to the classical exponents $\lambda(\xi,\eta)$ of best approximation, and $\widehat{\lambda}(\xi,\eta)$ of uniform approximation. It generalizes Fischler's exponent $\beta_0(\xi)$ in the sense that $\widehat{\lambda}_{\min}(\xi,\xi^2) = 1/\beta_0(\xi)$ whenever $\lambda(\xi,\xi^2) = 1$. Using parametric geometry of numbers, we provide a complete description of the set of values taken by $(\lambda,\widehat{\lambda}_{\min})$ at pairs $(\xi,\eta)$ with $1$, $\xi$, $\eta$ linearly independent over $\mathbf{Q}$.

研究の動機と目的

• 古典的な同時近似指数 $\lambda(\xi, \eta)$ および $\tilde{\lambda}(\xi, \eta)$ を精緻化する新たな指数 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ を定義し、その性質を研究すること。
• $\mathbb{Q}$ 上で 1, $\xi$, $\eta$ が線形独立であるようなペア $(\xi, \eta)$ に対して、$(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ が取り得る値の集合を完全に特徴づけること。
• $\eta = \xi^2$ の特別な場合において、$\tilde{\lambda}_{\min}$ とフィシュラーの指数 $\beta_0(\xi)$ の関係を示し、$\beta_0(\xi) < 2$ のとき $\beta_0(\xi) = 1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2)$ が成り立つことを示すこと。
• $\lambda$, $\tilde{\lambda}$, $\tilde{\lambda}_{\min}$ の共同スペクトルを調査し、集合 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ の構造を解明すること。

提案手法

• $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ を、$\mu \in (0, \lambda(\xi, \eta))$ の下で $\tilde{\lambda}_\mu(\xi, \eta)$ の下界として定義する。ここで $\tilde{\lambda}_\mu$ は、$\max(|x_0\xi - x_1|, |x_0\eta - x_2|) \leq \min(X^{-\lambda}, |x_0|^{-\mu})$ の解を制御する。
• 3 関数系 $P = (P_1, P_2, P_3)$ の文脈において、連続する最小値の挙動を分析するため、パラメトリックな数の幾何学の枠組みを用いる。
• $\psi(P_3) = \lambda / (1 + \lambda)$ および $\kappa(P_3) = \tilde{\lambda}_{\min} / (1 + \tilde{\lambda}_{\min})$ を満たし、必要な漸近的条件を満たすように、$[q_0, \infty)$ 上に明示的な 3 関数系 $P$ を構成する。
• 成長と比を制御するための数列 $q_k$ および補助的点 $s_k, t_k, r_k$ を用いて、$\tilde{\lambda}_{\min} > 1/2$ と $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1/2$ の 2 つの主要な場合に分けて、スペクトルを確立する。
• Davenport と Schmidt、および Schleischitz の既知の結果を活用し、$\beta_0(\xi) < 2$ のとき $\lambda(\xi, \xi^2) = 1$ が成り立つことを示し、$\beta_0$ と $\tilde{\lambda}_{\min}$ の間の関係を確立する。
• 連分数の理論と、連分数の極限値の集合 $S$ を用いて、$\lambda = 1$ のときの $1 / \tilde{\lambda}_{\min}$ の範囲を記述し、それが $[\gamma, \infty)$ に等しいことを示す。ここで $\gamma = (1 + \sqrt{5})/2$ は黄金比である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1, $\xi$, $\eta$ が $\mathbb{Q}$ 上で線形独立であるとき、ペア $(\lambda(\xi, \eta), \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta))$ が取り得る値の完全な集合は何か？
• RQ2 $\eta = \xi^2$ の場合に、$\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ とフィシュラーの指数 $\beta_0(\xi)$ はどのように関係しているか？
• RQ3 $\lambda$, $\tilde{\lambda}$, $\tilde{\lambda}_{\min}$ の共同スペクトルは完全に記述可能か？また、レベル集合 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ の構造は何か？
• RQ4 $b\lambda \in [0, 1]$ のとき、集合 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ のハウスドルフ次元は何か？

主な発見

• $\mathbb{Q}$ 上で 1 と線形独立な三重組 $1, \xi, \eta$ に対して、$(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ のスペクトルは、$\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1$、$\lambda > 1/2$、および $\tilde{\lambda}_{\min}^2 / (1 - \tilde{\lambda}_{\min}) \leq \lambda$ によって特徴づけられる。
• ほとんどの $(\xi, \eta)$ に対して、$\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = 1/2$ が成り立ち、これは古典的なディリクレの不等式の境界と整合的である。
• $\lambda(\xi, \xi^2) = 1$ のとき、集合 $\{1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2) \}$ は $[\gamma, \infty)$ に等しい。ここで $\gamma = (1 + \sqrt{5})/2$ は黄金比である。
• $\beta_0(\xi) < 2$ である $\xi$ に対して、$\beta_0(\xi) = 1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2)$ が成り立つ。これにより、両指数の直接的な関係が確立される。
• $\lambda = 1$ のときの $\tilde{\lambda}_{\min}$ のスペクトルは区間 $[\gamma, \infty)$ であるが、対応する $\beta_0(\xi)$ の集合は内部を持たず、分布の点で顕著な対比が示される。
• $\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}_{\min}$ のスペクトルは $[0, 1)$ であり、全区間 $[0, 1]$ が達成可能であると予想されている。これは近似スペクトルにおける豊かな構造を示唆している。