[論文レビュー] A New Exponential Forgetting Algorithm for Recursive Least-Squares Parameter Estimation

Hyo‐Sang Shin, Hae-In Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Control Systems and Identification参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、継続的励起（PE）条件を必要とせず、推定器の風上（windup）を防ぎつつ高速収束を維持する、再帰的最小二乗（RLS）パrameter推定のための新規指数的忘却アルゴリズムを提案する。情報行列の有界性に基づく可変忘却機構を導入することで、共分散行列に上界と下界を保証し、PE条​​件のもとでは指数的安定性、非PE条​​件のもとでは一様安定性を達成する。これにより、方向的忘却のロバスト性と指数的忘却の高速性を統合する。

ABSTRACT

This paper develops a new exponential forgetting algorithm that can prevent so-called the estimator windup problem, while retaining fast convergence speed. To investigate the properties of the proposed forgetting algorithm, boundedness of the covariance matrix is first analysed and compared with various exponential and directional forgetting algorithms. Then, stability of the estimation error with and without the persistent excitation condition is theoretically analysed in comparison with the existing benchmark algorithms. Numerical simulations on wing rock motion validate the analysis results.

研究の動機と目的

• 従来の再帰的最小二乗（RLS）アルゴリズムにおける指数的忘却（EF）の推定器風上問題を、継続的励起（PE）条件を満たさない場合に解決すること。
• 方向的忘却（DF）アルゴリズムの遅い収束性を克服し、EF手法の高速適応速度を維持すること。
• PE条件が満たされない場合でも、共分散行列の上界と下界が保証される新しいEFアルゴリズムの開発。
• PE条件および非PE条件の下での推定誤差の安定性を理論的に分析し、従来のRLS文献における標準的仮定を拡張すること。
• ウイングロック運動に対する数値シミュレーションを通じて、提案手法の妥当性を検証し、時間変動パラメータの追跡性能とノイズ耐性の優位性を示すこと。

提案手法

• 提案アルゴリズムは、情報行列の固有構造に基づき動的に調整される可変忘却因子を導入し、共分散行列の有界性を保証する。
• 適応ゲインが無限大に発散することを防ぐために、修正されたゲイン更新則を採用する。これにより、風上を回避する。
• Lyapunov関数を用いた解析により、PE条件および非PE条件の下での安定性特性を確立する。
• 情報行列が上界および下界から有界であるようにアルゴリズムを設計し、安定性と適応能力の両方を保証する。
• 理論的解析では、行列分解と有界性条件を用い、PE条​​件のもとでは指数的安定性、非PE条​​件のもとでは一様安定性を証明する。
• 忘却機構は、新しいデータが古くなった情報を効果的に置き換えられる場合にのみ、過去の情報を選択的に減衰させる。これは方向的忘却を模倣するが、EFの収束速度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PE条件に依存せず推定器風上を防ぐ新しい指数的忘却アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 非PE条件下において、提案アルゴリズムの共分散行列の有界性は、既存のEFおよびDFアルゴリズムと比較してどのように異なるか？
• RQ3 標準的EFと同等の高速収束速度を維持しながら、従来のEFの不安定性問題を回避できるか？
• RQ4 PE条件が満たされない場合、提案アルゴリズムにおける推定誤差の安定性挙動はいかなるものか？
• RQ5 提案アルゴリズムは、適応ゲインの有界性と時間変動パラメータの強力な追従能力を両立できるか？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、PE条件が満たされない場合でも、共分散行列が上界および下界から有界であることを保証し、推定器風上を防止する。
• ノイズと励起不足の下でシミュレーションにおいて、Lyapunov関数と推定誤差が有界に保たれる。これに対して、従来のEFアルゴリズムは発散する。
• PE条件のもとでは指数的安定性、非PE条件のもとでは一様安定性を達成し、収束速度とロバスト性の両面でDFアルゴリズムを上回る。
• 数値シミュレーションにより、パラメータ変更後（t=50秒以降）にDFアルゴリズムよりも速やかに収束し、t=60秒以降のノイズ下でも誤差が有界に保たれることを示した。
• 設計パラメータμの選択によりトレードオフが可能である：μを大きくするとノイズ耐性が向上（風上低減）、μを小さくするとパラメータ変化への応答性が向上する。
• ケース2（30秒以降に励起なし）において、提案アルゴリズムのLyapunov関数は約10⁻¹¹に安定化するが、DFアルゴリズムは0.01以上に保たれる。これにより、長期的安定性の優位性が確認された。